하늘 보면서 살자구요

2차원 평면(해석기하학)에서 좌표축을 하나 더 추가하면 3차원 입체 공간이 된다. 카테시안 곱 $\mathbb{R} × \mathbb{R} × \mathbb{R} = \{(x, y, z)|x, y, z \in \mathbb{R}\}$는 세 실수의 순서쌍 전체의 집합이고 $\mathbb{R}^{3}$로 나타낸다. 이것은 곤간의 점과 순서쌍 사이에 일대일 대응관계를 나타내는 것으로 삼차원 직교좌표계(three dimensional rectangular coordinate system)라 부른다. 공간 상의 점을 한 평면에 수직선을 내려서 생기는 점을 평면 위의 사영(projection)이라 부른다. 구면의 방정식 중심이 $C(h, k, l)$이고 반지름의 길이가 $r$인 구면의 방정식은 $(x-h)^{2}+..

수열 수열(sequence)은 말 그대로 정해진 순서대로 쓰여진 수들의 나열이다. 수열 $\{a_{n}\}$에서, 모든 $\epsilon > 0$에 대하여 $n > N$일 때 $|a_{n} - L| < \epsilon$을 만족하는 정수 $N$이 존재할 때, 수열 $\{a_{n}\}$은 극한값 $L$을 갖는다고 하고, 이것을 $\displaystyle\lim_{n→\infty}a_{n} = L$ 또는 $n → \infty$일 때 $a_{n} → L$으로 나타낸다. 수렴하지 않으면 발산이다. 수열의 극한과 함수의 극한의 차이점은 연속성의 차이이다. 참고로 수열 역시 극한법칙이 성립한다. 다음은 몇 가지 유용한 정리이다. $\displaystyle\lim_{n→\infty}|a_{n}| = 0$이면 $\dis..

8워 11일 2022 아이유 콘서트 일반 예매하는 날이다. 이번에는 올림픽주경기장에서 진행되어 좌석수가 많다고 한다. 유애나는 아니지만 아이유님을 존경해왔고 언제 또 이런 기회가 있을까 싶었다. 사실 중2때 chat-shire앨범 살까 고민 많이 했다. 그래서 혹시나 해서 도전해봤다. 이전에 수강신청했던 경험을 살려 시간을 가장 빠르게 맞추고 20시 정각에 일요일 거로 달렸다. 멜론티켓 예매는 처음이라 버튼이 어디에 어떻게 생기는지도 몰랐음 대기 40,000번대 받고 일단 기다렸다. 애초에 일반예매고 그러니 3층 외곽을 노렸고 결과는 2자리 성공이었다. . 그러나 멜론 아이디가 옛날에 엄마 명의로 만들어서 예매자명이 엄마로 되어있었다.. 그래서 내 계정을 새로 만들고 사람이 적은 시간에 팔고 구매하려 했..

사실 나는 21년 1월 4일 부로 국방의 의무를 이행하기 위해 육군에 입대했다. 그렇게 시간이 흘러 22년 5월 16일에 미복귀 휴가를 나오게 되는데... 5월 30일부터 미복귀휴가가 아예 사라진 걸로 알아서 아마 내가 막차였겠지?ㅎㅎ 나오면 솔직히 좋긴 한데, 사실 전날부터 아팠어서 몇일 앓아누웠다. 다 낫고 친구들도 만나고 마침 대학축제 시즌이었어서 고대 가서 악뮤, 에스파 보고 우리학교도 들러주고 그랬었다ㅎㅎ. 그렇게 5월이 지나갔다. 6월 2일 서울 삼성동 코엑스에서 개최된 2022 서울국제도서전에 갔다왔다. 수능이 끝나고부터 책을 읽는 습관을 들이다가 군대에 가서 폭발적으로 많이 읽었다. 그래서 도서전을 알게 되자마자 바로 방문했다. . 전시홀은 고3때 수시 박람회(?) 이후로 두 번째 방문하는..

수직선 판정에 의해 $y = f(x)$ 형태의 방정식으로 표현할 수 없는 곡선의 경우 다른 방식으로 함수를 정의해야 한다. 따라서 $x$와 $y$ 각각에 대해 새로운 변수 $t$(매개변수(parameter))를 도입해 $x = f(t)$, $y = g(t)$같은 매개방정식(혹은 매개변수방정식(parametric equations))으로 표현해야 한다. 많은 응용에서 t는 시각을 나타내고, $(x, y) = (f(t), g(t))$는 시각 t에서 질점 위치로 해석할 수 있다. $y = f(x)$ 형태로 표현할 수 없을 뿐이지, 곡선에 대하여 우리가 이전까지 배웠던 내용을 토대로 다양한 정보를 수집할 수 있다. 접선 $f$와 $g$가 미분가능 함수라면 연쇄법칙에 의해 $\frac{dy}{dt} = \frac..

부피 우리가 흔히 접할 수 있는 원기둥, 직육면체 등의 주면체(cylinder)의 경우 쉽게 부피를 구할 수 있다. 주면체가 아닌 입체의 경우 평면 그래프 상에서의 적분처럼 입체를 작은 조각으로 자른 후 각각의 조각을 주면체로 근사시키고 합해서 부피를 구할 수 있다. 즉, 절단면에 대한 함수식이 있다면 적분과 같은 형태로 부피를 구할 수 있다. $S$는 $x=a$와 $x=b$ 사이에 놓인 입체라고 하자. 만일 점 $x$를 지나고 $x$축에 수직인 평면 $P_{x}$에 있는 $S$의 절단면의 넓이를 $A(x)$라고 하자. 그러면 $S$의 부피는 $V = \displaystyle\lim_{x→\infty} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} A(x_{i}^{*})\Delta x = \displ..

각각의 미분법칙에는 그것에 대응하는 적분법칙이 있다. 예를 들어, 적분에서의 치환법은 미분에서의 연쇄법칙에 대응한다. 부분적분(integration by parts) 곱 법칙에 의하면 $f$와 $g$가 미분가능한 함수일 때 $\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$였다. 이것을 그대로 적분 형태로 바꿔주기만 하면 된다. 그러면 부분적분 공식이 된다. $\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int g(x)f'(x)dx$ 이걸 좀 더 기억하기 쉬운 형태로 바꾸면 $\int udv = uv - \int vdu$이다. 부분적분을 보면 뒤에 적분형태가 남는다. 즉, 부분적분을 이용하는 주된 목적은 원래의 적분보다 더 간단한 적분을 얻는 데 있다. 그러므로..

구분 구적법 우리는 도형의 넓이를 쉽게 구할 수 있다. (직사각형이나 삼각형 등) 도형의 변이 많아질수록 우리는 흔히, 다루기 쉬운 도형들로 쪼개서 계산한다. 이러한 생각이 확장되어 곡선에 대해서도 정확한 넓이를 구하고자 했다. 이것이 구분 구적법의 시초이다. 연속함수에 대해 그래프와 x축 사이 영역의 넓이를 구해보자. 직사각형 넓이의 합으로 구할 것이므로 우선 구간을 n등분한다. ($\Delta x = \frac{b-a}{n}$) 그리고 등분된 부분 구간에 대해 임의의 점 $x_{i}^{*}$에 대한 $f$값을 높이로 설정할 수 있다. 이러한 x값들을 표본점(sample point)이라고 부른다. 표본점을 어떻게 설정하느냐에 따라 $f$가 최솟값이나 최댓값을 가질 수 있다. 보통 왼쪽 끝점에 의해서는 ..