수열
수열(sequence)은 말 그대로 정해진 순서대로 쓰여진 수들의 나열이다.
수열 $\{a_{n}\}$에서, 모든 $\epsilon > 0$에 대하여 $n > N$일 때 $|a_{n} - L| < \epsilon$을 만족하는
정수 $N$이 존재할 때, 수열 $\{a_{n}\}$은 극한값 $L$을 갖는다고 하고,
이것을 $\displaystyle\lim_{n→\infty}a_{n} = L$ 또는 $n → \infty$일 때 $a_{n} → L$으로 나타낸다.
수렴하지 않으면 발산이다.
수열의 극한과 함수의 극한의 차이점은 연속성의 차이이다.
참고로 수열 역시 극한법칙이 성립한다. 다음은 몇 가지 유용한 정리이다.
$\displaystyle\lim_{n→\infty}|a_{n}| = 0$이면 $\displaystyle\lim_{n→\infty}a_{n} = 0$이다.
$\displaystyle\lim_{n→\infty}a_{n} = L$이고 함수 $f$가 $L$에서 연속이면 $\displaystyle\lim_{n→\infty}f(a_{n}) = f(L)$이다.
정의
$n \ge 1$인 모든 $n$에 대하여 $a_{n} < a_{n+1}$이면 수열 $\{a_{n}\}$은 증가수열이라 한다.
즉 $a_{1}<a_{2}<a_{3}<\cdots$이다.
$n \ge 1$인 모든 $n$에 대하여 $a_{n}>a_{n+1}$이면 감소수열이라 한다.
수열이 증가하거나 감소할 때 단조(monotonic)수열이라 한다.
정의
$n \ge 1$인 모든 $n$에 대하여 $a_{n} \le M$을 만족하는 $M$이 존재할 때 수열 $\{a_{n}\}$은 위로 유계(bounded above)라 한다.
$n \ge 1$인 모든 $n$에 대하여 $m\le a_{n}$을 만족하는 $m$이 존재할 때 수열 $\{a_{n}\}$은 아래로 유계(bounded below)라 한다.
위로 유계이고 아래로 유계인 수열을 유계(bounded)수열이라 한다.
유계인 수열이 반드시 수렴하는 것은 아니다.
또한 단조수열이 반드시 수렴한다고도 할 수 없다.
그러나 유계이면서 단조인 수열은 반드시 수렴한다.
(단조수열 정리(Monotonic Sequence Theorem))
이 정리의 증명은 실수집합 $\mathbb{R}$의 연속성과 동치인 완비공리(completeness axiom)를 이용한다. 완비공리는 "$S$가 공집합이 아닌 $\mathbb{R}$이 부분집합이고 상계 $M$을 가질 때(즉, $S$의 임의의 원소 $x$에 대하여 $x\le M$) $S$는 상계(least upper bound) $b$를 갖는다."는 것이다.
급수
우리는 무리수를 무한소수로 나타낼 수 있음을 알고 있다.
십진기수법의 편리함은 어떤 수든지 무한합으로 표현할 수 있다는 것이다.
무한수열의 모든 항들을 합한 것을 무한급수(infinite series) 또는 간단히 급수(series)라 부른다.
일반적인 급수가 합을 갖는지 알아보려면 부분합(partial sum)을 통해 알 수 있다.
급수 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$에 대하여 $s_{n}$은 다음과 같은 $n$항까지의 부분합이다.
$s_{n} = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i} = a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$
수열 $\{s_{n}\}$이 수렴하고 $\displaystyle\lim_{n→\infty}s_{n} = s$가 실수로 존재할 때 급수 $\sum a_{n}$은 수렴한다고 하고
$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}+\cdots = s$ 또는 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} = s$로 나타낸다.
이때 $s$를 급수의 합이라 한다. $\{s_{n}\}$이 수렴하지 않을 때 급수는 발산한다고 한다.
즉, 급수의 합은 부분합 수열의 극한이다.
기하급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=a+ar+ar^{2}+\cdots$는 $|r|<1$이면 수렴하고,
합은 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=\frac{a}{1-r}$ $|r|<1$이다.
$|r| \ge 1$이면 기하급수는 발산한다.
참고로 조화급수(harmonic series)($\sum\frac{1}{n}$)는 발산한다.
발산판정법
$\displaystyle\lim_{n→\infty}a_{n}$이 존재하지 않거나 $\displaystyle\lim_{n→\infty}a_{n} \ne 0$이면 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$은 발산한다.
즉, 급수 $\sum a_{n}$이 수렴하면 $\lim a_{n} = 0$이다.
다만, 이 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 극한이 0이어도 급수가 수렴하지 않을 수 있다.
적분판정법과 합의 추정
일반적으로 급수의 정확한 합을 구하는 것은 어렵다.
부분합을 쉽게 구한다고 해도 극한까지 구하는 것은 쉽지 않다.
그러므로 몇 가지 판정법을 이용해 합을 구하지 않고 수렴과 발산을 결정한다.
적분판정법(The Integral Test)
$f$가 $[1, \infty)$에서 연속이고 양의 값을 갖는 감소함수라 하고 $a_{n} = f(n)$이라 하자.
급수 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$이 수렴할 필요충분조건은 이상적분 $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$가 수렴할 때이다. 즉
(i) $\displaystyle\int_{1}^{\infty}f(x)dx$가 수렴하면 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$이 수렴한다.
(ii) $\displaystyle\int_{1}^{\infty}f(x)dx$가 발산하면 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$이 발산한다.
적분판정법을 사용하려면 적분값을 구할 수 있어야 하고, 그럴려면 원시함수를 구할 수 있어야 한다. 그런데 흔히 이것을 구하기는 어렵거나 불가능하기 때문에 급수의 수렴을 판정할 수 있는 다른 판정법이 필요하다.
$p$급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}$는 $p>1$이면 수렴하고 $p\le 1$이면 발산한다.
급수가 수렴함을 보여주기 위해 적분판정법을 사용할 수 있다고 가정하고 급수의 합의 근삿값을 구하고자 한다. 그러나 근삿값의 정확도를 추정하기 위해 나머지(remainder)의 크기를 추정할 필요가 있다.
적분판정법에 대한 나머지 추정
$x \ge n$에서 $f$가 연속이고 양이며 감소함수일 때 $f(k) = a_{k}$라 하고 $\sum a_{n}$이 수렴한다 하자. $R_{n} = s-s_{n}$이면 다음과 같다.
$\displaystyle\int_{n+1}^{\infty} f(x)dx \le R_{n} \le \int_{n}^{\infty} f(x)dx$
비교판정법
비교판정법은 수렴하는지 발산하는지 이미 알고 있는 급수를 이용하여 급수를 비교하는 것이다.
비교판정법(The Comparison Test) $\sum a_{n}$과 $\sum b_{n}$을 양의 항들을 갖는 급수라 하자.
(i) 모든 $n$에 대하여 $\sum b_{n}$이 수렴하고 $a_{n} \le b_{n}$이면 $\sum a_{n}$으로 수렴한다.
(ii) 모든 $n$에 대하여 $\sum b_{n}$이 발산하고 $a_{n} \ge b_{n}$이면 $\sum a_{n}$으로 발산한다.
조사하려는 급수의 항들이 비교하려는 수렴급수의 항들보다 작거나 발산급수의 항들보다 커야만 한다. 만약 수렴급수의 항들보다 크거나 발산급수의 항들보다 작으면 비교판정법은 적용될 수 없다.
극한비교판정법(The Limit Comparison Test)
$\sum a_{n}$과 $\sum b_{n}$을 양의 항들을 갖는 급수라 하자. $c > 0$에 대하여
$\displaystyle\lim_{n→\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = c$이면 두 급수는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.
교대급수
교대급수(alternating series)는 부호가 양과 음으로 교대로 바뀌는 급수이다.
다음 판정법은 교대급수의 항들이 절댓값을 취할 때 0으로 감소하면 수렴함을 기술한다.
교대급수판정법(Alternating Series Test)
교대급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_{n}=b_{1}-b_{2}+b_{3}-b_{4}+b_{5}-b_{6}+\cdots$ $(b_{n}>0)$가
(i) 모든 $n$에 대하여 $b_{n+1} \le b_{n}$
(ii) $\displaystyle\lim_{n→\infty}b_{n} = 0$
을 만족하면 수렴한다.
부분합은 총합에 대한 근삿값으로 사용될 수 있다. 그러나 이것은 근삿값의 정확도를 추정할 수 없는 한 많이 사용되지 않는다. 다음 정리는 교대급수의 조건을 만족하는 급수에 대하여 오차의 크기는 처음 무시된 항의 절댓값인 $b_{n+1}$보다 작다는 것을 기술한다.
교대급수 추정정리 $s = \sum (-1)^{n-1}b_{n}$이
(i) $b_{n+1} \le b_{n}$이고 (ii) $\displaystyle\lim_{n→\infty}b_{n}=0$
을 만족하는 교대급수의 합이면 $|R_{n}| = |s - s_{n}| \le b_{n+1}$이다.
오차가 급수에서 무시된 첫 번째 항보다 작은 것은 교대급수 추정정리를 만족하는 교대급수에서만 성립하는 규칙이다. 이 규칙은 일반적인 다른 형태의 급수에서는 성립하지 않는다.
절대수렴과 비 판정법과 근 판정법
절댓값 급수 $\sum |a_{n}|$이 수렴한다면 급수 $\sum a_{n}$는 절대수렴(absolutely convergent)한다고 한다.
급수가 수렴하나 절대수렴은 하지 않는다면 급수는 조건부 수렴(conditionally convergent)한다고 한다.(ex. 교대조화급수)
반면, 급수가 절대수렴하면 그 급수는 수렴한다.
다음 판정법은 주어진 급수의 절대수렴 여부를 결정하는 데 매우 유용하다.
비 판정법(The Ratio Test)
(i) $\displaystyle\lim_{n→\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|=L<1$이면 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$은 절대수렴한다(그러므로 수렴한다).
(ii) $\displaystyle\lim_{n→\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|=L>1$ 혹은 $\displaystyle\lim_{n→\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|=\infty$이면 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$은 발산한다.
(iii) $\displaystyle\lim_{n→\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|=1$이면 수렴발산을 비 판정법으로 판단할 수 없다. 즉, $\sum a_{n}$의 수렴 또는 발산에 대한 어떤 결론도 내릴 수 없다.
다음 판정법은 $n$제곱근이 나오는 경우 적용하면 편리하다.
근 판정법(The Root Test)
(i) $\displaystyle\lim_{n→\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=L<1$이면 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$은 절대수렴한다(그러므로 수렴한다).
(ii) $\displaystyle\lim_{n→\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=L>1$ 혹은 $\displaystyle\lim_{n→\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=\infty$이면 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$은 발산한다.
(iii) $\displaystyle\lim_{n→\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=1$이면 근 판정법을 적용할 수 없다.
수렴하는 급수가 절대수렴하는지 조건부 수렴하는지는 무한합이 유한합처럼 행해지는지의 질문과 관계가 있다.
유한합의 항들의 순서를 재배열하면 물론 합은 변하지 않는다. 그러나 무한급수의 경우에는 성립되지 않을 수 있다.
무한급수 $\sum a_{n}$의 재배열이란 단순히 항들의 순서를 바꾸어 얻어지는 급수를 의미한다.
결과적으로 $\sum a_{n}$이 합이 $s$인 절대수렴하는 급수이면 $\sum a_{n}$의 재배열도 같은 합 $s$를 가진다.
그러나 조건부 수렴 급수는 다른 합을 가지는 급수로 재배열될 수 있다.
멱급수
$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots$와 같은 모양의 급수를 멱급수(power series)라 한다. 각 항이 멱함수(거듭제곱함수)로 된 급수이다. $x$는 변수이고 $c_{n}$은 급수의 계수(coefficients)라고 부르는 상수이다.
일반적으로 다음의 급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots$는 $(x-a)$의 멱급수 또는 $a$를 중심으로 한 멱급수 또는 $a$에 관한 멱급수라 한다.
멱급수가 큰 비중을 차지하는 이유는 수학, 물리학, 화학 등에서 나오는 가장 중요한 함수들 중 일부가 멱급수로 표현되기 때문이다.
멱급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n}$가 다음 세 가지 경우만 가능하다.
(i) $x=a$일 때만 수렴한다.
(ii) 모든 $x$에 대하여 수렴한다.
(iii) 적당한 양수 $R$가 존재하여 $|x-a|<R$이면 수렴하고, $|x-a|>R$이면 발산한다.
(iii)의 경우에서 양수 $R$를 멱급수의 수렴반지름(radius of convergence)이라 부른다.
멱급수의 수렴구간(interval of convergence)은 멱급수가 수렴하는 모든 $x$값으로 구성된 구간이다.
(i)의 경우 수렴구간은 한 개의 점 $a$로 구성된 구간이며 (ii)의 경우 수렴구간은 $(-\infty, \infty)$이고 (iii)의 경우는 $a-R<x<a+R$가 수렴구간이다.
일반적으로 수렴반지름 $R$를 결정하기 위해 비 판정법(때로는 근 판정법)이 이용된다. 그러나 $x$가 수렴구간의 끝점일 때는 비 판정법이나 근 판정법을 이용할 수 없으므로 다른 판정법을 이용해야 한다.
함수의 멱급수 표현
$\frac{1}{1-x} = 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}$ $|x|<1$
멱급수의 합은 함수로 나타낼 수 있고 그의 정의역은 급수의 수렴구간이다.
다음 정리는 다항식처럼 급수의 각 항을 각각 미분하거나 적분할 수 있게 한다.
이것은 항별미분과 항별적분이라 한다.
멱급수 $\sum c_{n}(x-a)^{n}$가 수렴반지름 $R>0$일 때
$f(x)=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n}$
으로 정의되는 함수 $f$는 구간 $(a-R, a+R)$에서 미분가능하고(그래서 연속이다.)
(i) $f'(x)=c_{1}+2c_{2}(x-a)+3c_{3}(x-a)^{2}+\cdots=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}nc_{n}(x-a)^{n-1}$
(ii) $\displaystyle\int f(x)dx=C+c_{0}(x-a)+c_{1}\frac{(x-a)^{2}}{2}+c_{2}\frac{(x-a)^{3}}{3}+\cdots$
$=C+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\frac{(x-a)^{n+1}}{n+1}$
이다. 식 (i), (ii)의 수렴반지름은 모두 $R$이다.
단, 멱급수를 미분하거나 적분할 때 수렴반지름은 급수와 동일하지만 수렴구간이 동일함을 의미하지는 않는다. 원래 급수가 끝점에서 수렴하지만 미분된 급수는 그 점에서 발산할 수도 있다.
테일러 급수와 매클로린 급수
"어떤 함수들이 멱급수 표현을 가지는가?" "멱급수 표현을 어떻게 구하는가?"
$f$가 $a$에서 멱급수 표현을 가지면, 즉 $f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n}$ $|x-a|<R$
이면, 그 멱급수의 계수들은 $c_{n}=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$이다.
위의 정리는 다음으로 표현된다.
$a$에서 함수 $f$의 테일러 급수(Taylor series)
$f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$
$=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^{3}+\cdots$
a=0이면 테일러 급수는 다음과 같이 표현된다.
매클로린 급수(Maclaurin series)
$f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\cdots$
어떤 조건에서 함수가 테일러 급수의 합과 동일할까?
테일러 급수의 경우 부분합은 $T_{n}(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\frac{f^{i}(a)}{i!}(x-a)^{i}$이다.
$T_{n}$은 $n$차 다항식으로 $a$에서 $f$의 $n$차수 테일러 다항식이라 부른다.
일반적으로 $f(x) = \displaystyle\lim_{n→\infty}T_{n}(x)$이면 $f(x)$는 테일러 급수의 합이다.
$R_{n}(x) = f(x) - T_{n}(x)$라면 $f(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)$이고, $R_{n}(x)$는 테일러 급수의 나머지(remainder)라 부른다.
$f(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)$이면 $f$는 구간 $|x-a|<R$에서 그의 테일러 급수의 합과 같다. 여기서 $T_{n}$은 $a$에서 $f$의 $n$차 테일러 다항식이고 $|x-a|<R$에 대하여 $\displaystyle\lim_{n→\infty}R_{n}(x)=0$이다.
특정한 함수 $f$에 대하여 $\displaystyle\lim_{n→\infty}R_{n}(x)=0$임을 보이기 위하여 다음 정리가 자주 이용된다.
테일러 부등식(Taylor's Inequality)
$|x-a|\le d$에 대하여 $|f^{(n+1)}(x)|\le M$이면 테일러 급수의 나머지 $R_{n}(x)$는
다음 부등식을 만족한다. 즉 $|x-a|\le d$에 대하여
$|R_{n}(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}\le |x-a|^{n+1}$
위 두 정리를 적용할 때 '모든 실수 $x$에 대하여 \displaystyle\lim_{n→\infty}\frac{x^{n}}{n!}=0'임을 이용하면 종종 도움이 된다.
테일러 나머지 항을 구하는 공식
테일러 부등식에 대한 대안으로 나머지 항ㅇ[ 관한 다음 공식을 얻는다.
$f^{(n+1)}$이 구간 $I$에서 연속이고 $x\in I$이면
$R_{n}(x)=\frac{1}{n!}\displaystyle\int_{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}{t}dt$이다.
이것을 나머지 항의 적분공식이라 한다.
나머지 항의 라그랑주 공식이라 하는 다른 공식은, $R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$을 만족하는 $z$가 $x$와 $a$ 사이에 존재한다고 기술한다. 이것은 중간값 정리의 호가장이다(n=0의 경우).
이를 통해 이제 다양한 함수에 대해 매클로린 급수로 표현할 수 있게 되었다.
이항급수(binomial series) $k$가 임의의 실수이고 $|x|<1$이면
$(1+x)^k$의 매클로린 급수 $=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\! \begin{array}{c} k \\ x \end{array} \!\right)x^{n}=1+kx+\frac{k(k-1)}{2!}x^{2}+\frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^{3}+\cdots$
이항급수는 항상 $|x|<1$일 때 수렴하지만 양 끝점 $x=\pm 1$에서의 수렴 여부는 $k$의 값에 따라 달라진다.
$-1<k\le 0$이면 그 급수는 $x=1$에서 수렴하고 $k\ge 0$이면 $x=\pm 1$에서 수렴한다는 것이 판명되었다.
$k$가 양의 정수이고 $n>k$인 경우 항상 $\left(\! \begin{array}{c} k \\ x \end{array}\! \right) = 0$이다. 이것은 $k$가 양의 정수이면 급수는 곧 이항정리가 됨을 의미한다.
테일러 급수가 중요한 이유는 적분할 수 없는 함수도 적분이 가능하다는 것이다.
멱함수끼리 곱셈과 나눗셈 역시 가능하다. 나눗셈의 경우 장제법(long division)을 이용한다.
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