11. 벡터함수

벡터함수와 공간곡선

벡터함수(vector function)는 그 정의역이 실수의 집합이고, 치역이 벡터의 집합인 함수이다.

이 벡터의 성분은 성분함수(component functions)라 불리는 실수값 함수다.

$\mathbf{r}(t) = <f(t), g(t), h(t)> = f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j} + h(t)\mathbf{k}$

 

벡터함수의 극한은 성분함수들의 극한을 취함으로써 정의된다.

$\mathbf{r}(t) = <f(t), g(t), h(t)>$일 때, 각 성분함수의 극한이 존재하면 다음이 성립한다.
$\displaystyle\lim_{t→a}\mathbf{r}(t) = <\lim_{t→a}f(t), \lim_{t→a}g(t), \lim_{t→a}h(t)>$

 

벡터함수는 $\displaystyle\lim_{t→a}\mathbf{r}(t)= \mathbf{r}(a)$를 만족할 때, $a$에서 연속(continuous at a)이라고 한다.

즉, a에서 연속일 필요충분조건은 그의 성분함수가 a에서 연속인 것이다.

 

$f, g, h$를 구간 $I$에서 정의된 연속실수값 함수라 가정하자.
이때, $t \in I$에 대하여 $x=f(t), y=g(t), z=h(t)$일 때, 이 조건을 만족하는 공간의 모든 점 $(x, y, z)$의 집합 $C$를 공간곡선(space curve)이라 부른다.

이에 대해 벡터함수로 생각하면, $C$ 위의 점의 위치벡터가 된다. 따라서 임의의 연속벡터함수는 움직이는 벡터의 끝점에 의하여 그려지는 공간곡선을 정의한다.

---

벡터함수의 도함수와 적분

벡터함수 $\mathbf{r}$의 도함수(derivative) $\mathbf{r}'$은 실수값 함수에서와 같이 $\displaystyle\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{r}'(t)=\lim_{h→0}\frac{\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)}{h}$로, 극한이 존재하는 경우에 한하여 정의한다.

 

$\mathbf{r}'(t)$가 존재하고, $\mathbf{r}'(t) \ne \mathbf{0}$를 $\mathbf{r}$에 의하여 정의되는 곡선에 대한 점 $P$에서의 접선벡터(tangent vector)라 한다.

이를 크기로 나누면 단위접선벡터(unit tangent vector)이다.

참고로 벡터함수 역시 미분법칙이 성립한다.

 

 

연속벡터함수 $\mathbf{r}(t)$의 정적분(definite integral)은 적분의 결과가 하나의 벡터라는 것을 제외하면, 실수값 함수에 관한 것과 같은 방법으로 정의될 수 있다.

$\displaystyle\int_{a}^{b}\mathbf{r}(t)dt = \Bigg(\int_{a}^{b}f(t)dt\Bigg) \mathbf{i} + \Bigg(\int_{a}^{b}g(t)dt\Bigg) \mathbf{j} + \Bigg(\int_{a}^{b}h(t)dt\Bigg) \mathbf{k}$

 

또한, 미분적분학의 기본정리는 연속인 벡터함수에까지 그대로 확장될 수 있다.

---

호의 길이와 곡률

공간곡선의 길이도 이전에 평면곡선의 길이를 구한 것과 같은 방법으로 정의된다.

$L = \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{[f'(t)]^{2}+[g'(t)]^{2}+[h'(t)]^{2}}dt = \int_{a}^{b}\sqrt{(\frac{dx}{dt})^{2}+(\frac{dy}{dt})^{2}+(\frac{dz}{dt})^{2}}dt$
     $=\displaystyle\int_{a}^{b}|\mathbf{r}'(t)|dt$

이를 통해 호의 길이함수(arc length function) 또한 벡터함수로 표현 가능하다.

$s(t) = \displaystyle\int_{a}^{t}|\mathbf{r}'(u)|du = \int_{a}^{t}\sqrt{(\frac{dx}{du})^{2}+(\frac{dy}{du})^{2}+(\frac{dz}{du})^{2}}du$

여기서 양변을 미분하면, $\frac{ds}{dt}=|\mathbf{r}'(t)|$를 얻는다.

 

호의 길이는 특정한 좌표계에 좌우되지 않고, 곡선의 모양에 따라 자연스럽게 생기는 것이므로, 곡선을 호의 길이에 관하여 매개변수화하는 것이 떄로 유용하다.

---

곡률

구간 $I$에서 매개변수화 $\mathbf{r}'(t)$는 $\mathbf{r}'$이 연속이고 $\mathbf{r}'(t) \ne \mathbf{0}$일 때 매끄럽다(smooth)고 한다. 매끄러운 곡선은 뾰족한 모퉁이나 첨점이 없고 접선벡터 방향을 바꿀 때 연속적으로 방향을 바꾼다.

 

주어진 점에서의 곡률은 그 점에서 곡선이 얼마나 빠르게 방향을 바꾸는가 하는 것을 잰 것이다. 즉, 곡률은 호의 길이에 대한 단위접선벡터의 변화율의 크기로 정의된다.(곡률이 매개변수화에 영향을 받지 않도록 하기 위하여 호의 길이를 이용한다.)

곡선의 곡률(curvature) $\mathtt{k}$는 $\mathbf{T}$가 단위접선벡터일 때 $\mathtt{k} = \Bigg|\displaystyle\frac{d\mathbf{T}}{ds}\Bigg|$이다.

$\mathtt{k} = \Bigg|\displaystyle\frac{d\mathbf{T}}{ds}\Bigg| = \Bigg|\frac{d\mathbf{T}/dt}{ds/dt}\Bigg|$이므로

$\mathtt{k}(t) = \displaystyle\frac{|\mathbf{T}'(t)|}{|\mathbf{r}'(t)|} = \frac{|\mathbf{r}'(t) × \mathbf{r}''(t)|}{|\mathbf{r}'(t)|^{3}}$이다.

 

평면곡선의 특별한 경우에는 $x$를 매개변수로 택하여 쓸 수 있다.

$\mathtt{k}(x) = \displaystyle\frac{|f''(x)|}{[1+(f'(x))^{2}]^{3/2}}$

---

법선벡터와 종법선벡터

매끄러운 공간곡선 $\mathbf{r}(t)$ 위의 주어진 점에는 단위접선벡터 $\mathbf{T}(t)$와 직교하는 벡터가 많이 있다. 모든 $t$에 대하여 $|\mathbf{T}(t)|=1$이므로 $\mathbf{T}(t) \cdot \mathbf{T}'(t) = 0$이다.

$\mathbf{T}'(t)$ 자신은 단위벡터가 아니지만 $\mathtt{k} \ne 0$인 어떤 점에서든 주단위법선벡터(principal unit normal vector 또는 줄여서 단위법선벡터) $\mathbf{N}(t)$를 $\mathbf{N}(t) = \frac{\mathbf{T}'(t)}{|\mathbf{T}'(t)|}$와 같이 정의할 수 있다.

 

벡터 $\mathbf{B}(t) = \mathbf{T}(t) × \mathbf{N}(t)$를 종법선벡터(binormal vector)라고 한다. 이 벡터는 $\mathbf{T}$와 $\mathbf{N}$ 모두에 수직인 단위벡터이다.

 

 

곡선 $C$ 위의 점 $P$에서 법선벡터 $\mathbf{N}$과 종법선벡터 $\mathbf{B}$에 의하여 결정되는 평면을 $P$에서의 $C$로의 법평면(normal plane)이라 한다. 이 평면은 접선벡터 $\mathbf{T}$와 직교하는 모든 직선들로 이루어져 있다.

 

벡터 $\mathbf{T}$와 $\mathbf{N}$에 의하여 결정되는 평면을 $P$에서의 $C$의 접촉평면(osculating plane)이라 한다. 이 평면은 $P$ 근방의 곡선부분을 가장 가까운 위치에서 포함하는 평면이다.

 

$P$에서의 $C$의 접촉평면에 놓여 있는 원으로서 $P$에서 $C$와 같은 접선을 가지고, $C$의 오목한 쪽($\mathbf{N}$이 가리키는 방향)에 있으며 반지름이 $\rho = 1/\mathtt{k}$(곡률의 역수)인 원을 $P$에서의 $C$의 접촉원(또는 곡률원, circle of curvature)이라고 한다.

 

원은 $P$ 근방에서 $C$가 어떻게 행동하는가를 잘 설명해주는 원으로, $P$에서 곡선 $C$와 함께 접선벡터, 법선벡터를 공유하여 같은 곡률을 갖는다.