13. 다중적분

부피와 이중적분

이변수함수에 대해서 적분을 알아보자.

이변수함수는 곡면을 나타내므로 적분 시 부피를 얻을 수 있다.

이때 $x, y$좌표는 밑면이 되며 잘게 나누어지는 구역으로 생각할 수 있고 직육면체를 근사해 얻는 방법이다.

직사각형 $R$ 위의 $f$에 대한 이중적분(double integral)은 다음 식의 극한이 존재하는 경우이다.
$\displaystyle\iint\limits_{R}f(x, y)dA = \lim_{m, n→\infty}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f(x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*})\Delta A$

이 극한이 존재하면 $f$를 적분가능(integrable)이라 한다.

여기서 합을 이중리만합(double Riemann sum)이라 부르고 이중적분의 값에 대한 근사로써 사용한다.

 

단일적분을 근사시키는 데 사용했던 방법들(중점 법칙, 사다리꼴 공식, 심프슨 공식)은 모두 이중적분에서도 유사하다.

 

일변수함수의 평균값을 적분을 통해 표현할 수 있듯, 직사각형 $R$상에서 정의된 이변수함수 $f$의 평균값(average value)을 다음과 같이 정의한다.

$f_{ave} = \displaystyle\frac{1}{A(R)}\iint\limits_{R}f(x, y)dA$

 

이중적분 역시 단일적분과 같이 여러 성질들이 적용된다.

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반복적분

이중적분은 반복적분으로 표현할 수 있고, 두 개의 단일적분을 계산함으로써 이중적분을 계산할 수 있다.

$\int_{c}^{d}f(x, y)dy$는 $y$에 관하여 적분하는 것을 의미하며 $y$에 관한 편적분이라 불린다. 따라서 $x$의 함수로 정의할 수 있고 여기에 $x$에 관하여 또 적분하면 반복적분(iterated integral)이라 부를 수 있다.

푸비니 정리(Fubini's Theorem)
$f$가 직사각형 $R={(x, y)|a\le x \le b, c\le y \le d}$ 상에서 연속이면 다음 식이 성립한다.
$\displaystyle\iint\limits_{R}f(x, y)dA = \int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x, y)dydx = \int_{c}^{d}\int_{a}^{b}f(x, y)dxdy$
더 일반적으로 만약 $f$가 $R$상에서 유계이고, $f$가 오직 유한개의 매끄러운 곡선상에서 불연속이며, 반복적분이 존재한다면 이 식이 성립한다.

반복적분은 하나의 평면을 만든 후 다른 축에 대해 이동하며 적분을 해서 부피를 구하는 과정이다.

 

만약 $f(x, y)$가 오직 $x$만의 함수와 오직 $y$만의 함수의 곱으로 인수분해된다면 이중적분을 특별히 단순한 형으로 쓸 수 있다.

$\displaystyle\iint\limits_{R}g(x)h(y)dA = \int_{a}^{b}g(x)dx\int_{c}^{d}h(y)dy$     단, $R = [a, b]×[c, d]$

반복적분 중 하나의 적분에서 다른 변수는 상수가 되기 때문이다.

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일반 영역 위의 이중적분

일반적으로 곡면을 평면에 정사영했을 때 나타는 영역은 두 함수의 차로 적분할 수 있다.

$y=g(x)$꼴을 형태 $\mathrm{I}$, $x=h(y)$꼴을 형태 $\mathrm{II}$라 할 때 다음과 같이 정리할 수 있다.

$f$가 형태 $\mathrm{I}$인 영역 $D = \{(x, y)|a\le x \le b, g_{1}(x)\le y \le g_{2}(x)\}$상에서 연속함수이면 $\displaystyle\iint\limits_{D}f(x, y)dA = \int_{a}^{b}\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}f(x, y)dydx$이다.

형태 $\mathrm{II}$라면 $\displaystyle\iint\limits_{D}f(x, y)dA = \int_{c}^{d}\int_{h_{1}(y)}^{h_{2}(y)}f(x, y)dxdy$이다.

이중적분 역시 단일적분처럼 구역을 나누어서(적분구간을 나누어서) 계산할 수 있다.

이때, 평면 상의 구역을 나누는 것이므로 각각의 적분에 대해 적분 순서는 서로 무관하다.

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극좌표에서 이중적분

어느 경우나 직교좌표로 영역을 나타내는 것은 다소 복잡하지만 극좌표를 사용하면 쉽게 나타낼 수 있다.

극좌표에서는 기본적으로 원과 사선으로 극장방형을 이용해 적분한다.

$\Delta A_{i} = \frac{1}{2}r_{i}^{2}\Delta \theta - \frac{1}{2}r_{i-1}^{2}\Delta \theta = \frac{1}{2}(r_{i}+r_{i-1})(r_{i}-r_{i-1})\Delta \theta = r_{i}^{*}\Delta r\Delta\theta$이다.

이중적분의 극좌표로의 변환
$f$가 $0\le a \le r \le b$, $\alpha \le \theta \le \beta$, $0\le \beta - \alpha \le 2\pi$로 주어진 극장방형 $R$상에서 연속이면 $\displaystyle\iint\limits_{R}f(x, y)dA = \int_{\alpha}^{\beta}\int_{a}^{b}f(r\cos\theta, r\sin\theta)r dr d\theta$이다.

극영역이 극장방형이 아닌 $\theta$에 관한 함수라도 $\alpha$와 $\beta$를 해당 함수로 놓으면 된다.

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곡면의 넓이

곡면에 대해 접평면을 이중적분하면 곡면의 넓이를 구할 수 있다.

접평면의 넓이는 두 벡터의 벡터곱(외적)의 크기로 구할수 있다.

$\mathbf{a} × \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \Delta x & 0 & f_{x}(x_{i}, y_{i})\Delta x \\ 0 & \Delta y & f_{y}(x_{i}, y_{i})\Delta y \end{vmatrix}$

$f_{x}$, $f_{y}$가 연속일 때 식 $z=f(x, y)$, $(x, y) \in D$로 표현되는 곡면의 넓이는 $A(S) = \displaystyle\iint\limits_{D} \sqrt{[f_{x}(x, y)]^{2} + [f_{y}(x, y)]^{2} + 1}dA$이다.

이 공식은 회전체의 넓이 공식과 일치함을 알 수 있다. 편도함수를 사용하는 표기법을 쓰면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$A(s) = \displaystyle\iint\limits_{D}\sqrt{1+\Bigg(\frac{\partial z}{\partial x}\Bigg)^{2} + \Bigg(\frac{\partial z}{\partial y}\Bigg)^{2}}dA$

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삼중적분

일변수함수에 대한 정적분과 이변수함수에 대한 이중적분을 정의한 것과 같이 삼변수함수에 대한 삼중적분을 정의할 수 있다.

직육면체 영역 $B$ 위의 $f$의 삼중적분(triple integral)은 극한이 존재할 경우 $\displaystyle\iiint\limits_{B}f(x, y, z)dV = \lim_{l, m, n → \infty}\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}f(x_{ijk}^{*}, y_{ijk}^{*}, z_{ijk}^{*})\Delta V$이다.

삼중적분은 작은 직육면체가 직육면체 영역을 돌아다니면서 적분되는 형태로 볼 수 있다.

삼중적분에 대한 푸비니 정리
$f$가 직육면체 $B = [a, b]×[c, d]×[r, s]$ 상에서 연속일 때 $\displaystyle\iiint\limits_{B}f(x, y, z)dV = \int_{r}^{s}\int_{c}^{d}\int_{a}^{b}f(x, y, z)dxdydz$이다.

적분 순서는 상관 없고, 각 면이 어떤 형태든 구간을 함수로 나타내어 적분할 수 있다.

단, 구간을 함수로 표현할 경우 남는 변수를 맞추어 순서에 맞게 적분해야 한다.

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원기둥좌표로 나타낸 삼중적분

평면기하학에서는 극좌표계의 도움으로 직교좌표계의 한계를 넘어섰다.

삼차원 공간에서 일반적으로 어떤 곡면과 입체를 편리하게 설명해주는 극좌표와 유사한 원기둥좌표(또는 원주좌표)라 불리는 좌표계가 있다.

 

원기둥좌표계(cylindrical coordinate system)에서는 삼차원 공간의 점 $P$를 순서도 $(r, \theta, z)$로 나타낸다. 이때 $r$과 $\theta$는 $xy$평면에 대한 $P$의 사영의 극좌표이고 $z$는 $xy$평면에서 $P$까지의 방향이 주어진 거리이다.

 

$x = r\cos\theta$        $y=r\sin\theta$         $z=z$

를 이용해 원기둥좌표를 직교좌표로 변환하고

$r^{2} = x^{2}+y^{2}$        $\tan\theta = \frac{y}{x}$          $z=z$

를 이용해 직교좌표를 원기둥좌표로 변환할 수 있다.

 

극좌표에서 이중적분을 계산하는 방법을 배웠듯 원기둥좌표에서 삼중적분을 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\displaystyle\iiint\limits_{E}f(x, y, z)dV = \int_{\alpha}^{\beta}\int_{h_{1}(\theta)}^{h_{2}(\theta)}\int_{u_{1}(r\cos\theta, r\sin\theta)}^{u_{2}(r\cos\theta, r\sin\theta)}f(r\cos\theta, r\sin\theta, z)rdzdrd\theta$

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구면좌표로 나타낸 삼중적분

삼차원 공간에서 다른 하나의 유용한 좌표계로 구면좌표가 있다. 이것은 구면 또는 원뿔면에 의해 유계된 영역 위에서의 삼중적분의 계산을 더 단순화한다.

 

공간에서 점 $P$의 구면좌표(spherical coordinates) $(\rho, \theta, \phi)$를 사용하며 $\rho = |OP|$는 원점에서 $P$까지의 거리이고, $\theta$는 원기둥좌표처럼 같은 각, 또 $\phi$는 양의 $z$축과 선분 $OP$ 사이의 각이다.

또한 $\rho \ge 0$, $0\le\phi\le\pi$임을 유의해야 한다.

 

구면좌표계는 원점에 관하여 대칭인 문제에 특히 유용하다.

 

$x = \rho\sin\phi\cos\theta$       $y=\rho\sin\phi\cos\theta$        $z=\rho\cos\phi$

$\rho^{2} = x^{2} + y+{2} z^{2}$

을 이용하면 직교좌표를 구면좌표로 변환할 수 있다.

 

구면좌표계에서 삼중적분을 위해 직육면체에 대한 대응물은 구면쐐기(spherical wedge) 형태의 영역이다.

$\displaystyle\iiint\limits_{E}f(x, y, z)dV$
                     $= \displaystyle\int_{c}^{d}\int_{\alpha}^{\beta}\int_{a}^{b}f(\rho\sin\phi\cos\theta, \rho\sin\phi\sin\theta, \rho\cos\phi)\rho^{2}\sin\phi d\rho d\theta d\phi$
여기서 $E$는 다음과 같이 주어진 구면쐐기이다.
$E=\{(\rho, \theta,\phi)|a\le\rho\le b, \alpha\le\theta\le\beta, c\le\phi\le d\}$

이 공식은 $g_{1}(\theta, \phi) \le \rho \le g_{2}(\theta, \phi)$와 같이 좀 더 일반적인 구면 영역으로까지 확장될 수 있다.

 

일반적으로 구면좌표는 원뿔면이나 구면과 같은 곡면이 적분 영역의 경계를 이룰 때의 삼중적분에 사용된다.

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다중적분의 변수변환

일차원 미분적분학에 흔히 적분을 간단히 하기 위해 변수변환(치환)을 사용한다.

 

변환(transformation) $T$에 의해 주어진 변수 변환을 생각해보자.

$T(u, v) = (x, y)$에서 $x=g(u, v)$, $y=h(u, v)$일 때

일반적으로 $T$가, $g$와 $h$가 연속인 1계 편도함수들을 갖는다는 의미인, $C^{1}$변환이라고 가정한다.

 

변환 $T$는 실제적으로 정의역과 치역이 둘 다 $mathbb{R}^{2}$의 부분집합인 함수이다.

이때 점 $(x, y)$을 점 $(u, v)$의 상(image)이라 한다. 만약 어떠한 두 점도 같은 상을 갖지 않으면, $T$를 일대일 변환(one-to-one)이라 한다.

만약 $T$가 일대일 변환이면 $xy$평면에서 $uv$평면으로의 역변환(inverse transformation) $T^{-1}$을 갖는다.

 

우선 이중적분에 변수변환이 어떤 영향을 미치는지 알아보자.

$(u, v)$로 표현된 $S$의 상을 $xy$평면의 영역 $R$이고 점 $(u, v)$에 대한 위치벡터로 표현할 수 있다.

따라서 넓이 역시 근사되며 $|(\Delta u \mathbf{r}_{u})×(\Delta v \mathbf{r}_{v})| = |\mathbf{r}_{u}×\mathbf{r}_{v}|\Delta u\Delta v$임을 알 수 있다.

 

이 외적 계산에서 나타나는 행렬식을 이 변환의 야코비안(Jacobian)이라 부른다.

$x=g(u,v)$와 $y=h(u,v)$에 의해 주어진 변환 $T$의 야코비안은
$\displaystyle\frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}$이다.

이 기호를 이용해 $R$의 넓이 $\Delta A$에 대한 근사식

$\Delta A \approx |\frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)}|\Delta u \Delta v$을 얻을 수 있다.

이중적분의 변수변환
$T$가 야코비안이 0이 아니고 $uv$평면에서의 영역 $S$를 $xy$평면에서의 영역 $R$ 위로 사상시키는 $C^{1}$변환이라고 하자. $f$가 $R$상에서 연속이고 $R$과 $S$가 형태 $\mathrm{I}$ 또는 $\mathrm{II}$의 평면 영역이라 하자. 또한 가능하다면 $S$의 경계를 제외하고 $T$가 일대일이면 다음 식이 성립한다.
$\displaystyle\iint\limits_{R}f(x, y)dA = \iint\limits_{S}f(x(u,v), y(u,v))\Bigg|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\Bigg|dudv$

 

삼중적분 역시 야코비안을 이용한 변수변환 공식이 있다.

$\displaystyle\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix}$