벡터장
$D$를 $\mathbb{R}^{2}$(평면 영역)의 부분집합이라 하자. $\mathbb{R}^{2}$상의 벡터장(vector field)은 $D$에 속하는 각각의 점 $(x, y)$에 대하여, 이차원 벡터 $\mathbf{F}(x, y)$를 대응시키는 함수 $\mathbf{F}$이다.
삼차원 공간으로 확장시킬 수 있다.
벡터함수는 당연히 성분함수를 가지고 있고 이는 스칼라함수들이며 벡터장과 구분하기 위하여 스칼라장(scalar field)이라 부른다.
$f$가 두 변수의 스칼라함수이면 기울기 $\nabla f(x, y) = f_{x}(x, y)\mathbf{i} + f_{y}(x, y)\mathbf{j}$임을 안다. 따라서 $\nabla f$는 실로 $\mathbb{R}^{2}$상의 벡터장이며 기울기 벡터장(gradient vector field)이라 부른다.
선적분
선적분은 쉽게 생각하면 선의 자취를 따라 생기는 곡면의 넓이를 구하는 것이다.
$f$가 방정식 $x=x(t)$, $y=y(t)$ $a\le t \le b$과 같이 주어진 매끄러운 곡선 $C$ 위에서 정의될 때, $C$ 위에서 $f$의 선적분(line integral)은 극한이 존재하는 경우에 아래와 같이 정의된다.
$\displaystyle\int_{C}f(x, y)ds = \lim_{n→\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}^{*}, y_{i}^{*})\Delta s_{i}$
길이 공식을 이용하면 $\displaystyle\int_{C} f(x, y)ds = \int_{a}^{b}f(x(t),y(t))\sqrt{\Bigg(\frac{dx}{dt}\Bigg)^{2} + \Bigg(\frac{dy}{dt}\Bigg)^{2}}dt$
로 선적분을 구할 수 있다.
이 정의에서 $\Delta s_{i}$를 $\Delta x$나 $\Delta y$로 대치하면 다른 두 개의 선적분을 얻는다. 이들은 $x$(또는 $y$)에 관한 $C$ 위에서 $f$의 선적분이라 부른다.
$\int_{C}f(x, y)dx = \lim_{n→\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}^{*}, y_{i}^{*})\Delta x_{i}$
$\int_{C}f(x, y)dy = \lim_{n→\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}^{*}, y_{i}^{*})\Delta y_{i}$
이 두 방정식을 원래의 선적분과 구별하고자 할 때에는 원래의 선적분을 호의 길이에 관한 선적분이라 부른다.
$\int_{C}f(x, y)dx = \int_{a}^{b}f(x(t), y(t))x'(t)dt$
$\int_{C}f(x, y)dy = \int_{a}^{b}f(x(t), y(t))y'(t)dt$
일반적으로 주어진 매개방정식은 매개변수의 증가에 대응하는 양의 방향으로 곡선 $C$의 방향(orientation)을 결정한다.
공간에서도 이전과 마찬가지로 선적분이 정의된다.
벡터장에서도 선적분이 정의될 수 있다.
벡터장의 힘을 곡선을 따라 선적분하게 되면 질점에서 단위접선벡터의 방향으로 나아가므로 내적으로 표현할 수 있다.
$\mathbf{F}$는 벡터함수 $\mathbf{r}(t)$, $a\le t \le b$로 주어진 매끄러운 곡선 $C$ 위에서 정의된 연속벡터장이라 하자. 이때 $C$ 위에서 $\mathbf{F}$의 선적분은
$\displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)dt = \int_{C}\mathbf{F}\cdot\mathbf{T}ds$이다.
벡터장의 선적분과 스칼라장의 선적분 사이의 관계에 주목하자.
$\mathbb{R}^{3}$ 위의 벡터장 $\mathbf{F}$가 방정식 $\mathbf{F}=P\mathbf{i} + Q\mathbf{j} + R\mathbf{k}$의 형태로 주어진다고 가정하자.
선적분을 계산해보면 $\displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}Pdx + Qdy+Rdz$임을 알 수 있다.
선적분의 기본정리
선적분에도 미분적분학의 기본정리인 순변화 정리(Net Change Theorem)를 그대로 적용시킬 수 있다.
$C$는 벡터함수 $\mathbf{r}(t)$, $a\le t \le b$에 의하여 주어진 매끄러운 곡선이라 하자. $f$는 기울기 벡터 $\nabla f$가 $C$ 위에서 연속인 이변수 혹은 삼변수의 미분가능한 함수라 하자. 그러면 다음이 성립한다.
$\displaystyle\int_{C} \nabla f \cdot d \mathbf{r}=f(\mathbf{r}(b))-f(\mathbf{r}(a))$
이 정리는 $\nabla f$의 선적분은 $f$의 순변화량임을 말해준다.
즉, 시작점과 끝점이 같다면 어떤 경로든 위의 적분값은 동일하다는 것이다.
일반적으로 $F$가 정의역 $D$를 갖는 연속벡터장이고, 시작점과 끝점이 같은 임의의 두 개의 경로 $C_{1}, C_{2}$에 대하여 $\int_{C_{1}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C_{2}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$이면 선적분$\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$은 경로에 독립(independent of path)이라 말한다. 이 용어를 쓰면 보존적 벡터장의 선적분은 경로에 독립이라고 말할 수 있다.
한 곡선의 시작점과 끝점이 같을 경우 닫힌(closed) 곡선이라 한다. 이 곡선은 결국 한 바퀴를 돌아 선적분을 하면 결과가 0이 된다. 반 바퀴의 두 경로는 경로에 독립이지만 적분 방향이 달라 하나는 음수이기 때문이다.
$\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$이 $D$에서 경로에 독립일 필요충분조건은 $D$에 속하는 임의의 닫힌 경로 $C$에 대하여 $\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 0$이다.
$D$가 열린(open) 영역이라 하자. 즉, $D$에 속하는 임의의 점 $P$에 대하여 $D$에 완전히 포함되는 중심 $P$를 갖는 원판(disk)이 존재한다고 가정하자.(따라서 $D$는 어떠한 그의 경계점도 포함하지 않는다.) 덧붙여 $D$가 연결(connected) 영역이라 가정하자. 이것은 $D$에 속하는 임의의 두 점이 $D$에 포함되는 어떤 경로에 의하여 연결될 수 있다는 것을 의미한다.
$F$가 열린 연결영역 $D$상에서 연속인 벡터장이라 가정하자. $\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$이 $D$에서 독립이면, $F$는 $D$상에서 보존적 벡터장이다. 즉 $\nabla f = \mathbf{F}$가 되는 함수 $f$가 존재한다.
$F(x, y) = P(x, y)\mathbf{i} + Q(x, y)\mathbf{j}$가 보존적 벡터장이고 $P$와 $Q$는 정의역 $D$ 상에서 연속인 1계 편도함수를 갖는다면 $D$ 전역에서 클레로 정리에 의하여 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$가 성립한다.
이 정리의 역은 특수한 형태의 영역에 대해서만 성립한다. 이것을 설명하기 위하여 우선 필요한 개념이 단순곡선(simple curve), 즉 양 끝점 사이의 어떤 곳에서도 서로 교차하는 점이 없는 곡선이다.
평면에서 단순연결 영역(simple-connected region)은 $D$ 안에 있는 모든 단순닫힌 곡선이 $D$ 안에 있는 점들만을 둘러싸고 있는 연결 영역 $D$를 뜻한다. 직관적으로 단순연결 영역은 구멍을 포함하지 않고 두 개의 부분으로 분리되지 않는다고 말할 수 있다.
$\mathbf{F}=P\mathbf{i}+Q\mathbf{j}$는 열린 단순연결 영역의 $D$ 상의 벡터장이고, $P$와 $Q$는 연속인 1계 편도함수를 갖고 $D$ 상에서 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$가 성립한다고 가정하자. 그러면 $\mathbf{F}$는 보존적 벡터장이다.
그린 정리
그린 정리(Green's Theorem)는 단순닫힌 곡선 $C$를 따른 선적분과 $C$에 의하여 유계된 평면영역 $D$상에서의 이중적분 사이의 관계를 알려준다. 그린 정리의 설명에서, 단순닫힌 곡선 $C$의 양의 방향은 $C$가 반시계 방향으로 단순히 선회하는 것으로 정의한다.
$C$는 평면에 놓인 양의 방향을 갖는 부분적으로 매끄러운 단순닫힌 곡선이라 하고, $D$는 $C$에 의하여 유계된 영역이라 하자. $P$와 $Q$가 $D$를 포함하는 열린 영역 위에서 연속인 편도함수를 가지면 $\displaystyle\int_{C}Pdx+Qdy = \iint\limits_{D}\Bigg(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigg)dA$이다.
그린 정리는 이중적분에 대한 미분적분학의 기본정리의 유사 정리로 간주되어야 한다.
영역이 단순영역들의 유한개 합집한인 경우에도 그린 정리는 성립한다.
그린 정리는 구멍이 있는 영역, 즉 단순연결이 아닌 영역으로 확장하여 적용할 수 있다. 공통 경계선을 따른 선적분은 서로 다른 방향이므로 상쇄되고 남은 안의 구멍은 바깥 경로와 반대의 방향으로 남게 된다.
회전과 발산
$F = P\mathbf{i}+Q\mathbf{j}+R\mathbf{k}$가 $\mathbb{R}^{3}$상의 벡터장이고 $P, Q, R$의 편도함수들이 모두 존재하면, $F$의 회전(curl)은 아래와 같이 $\mathbb{R}^{3}$상의 벡터장으로 정의된다.
curl $\displaystyle\mathbf{F} = \Bigg(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\Bigg)\mathbf{i} + \Bigg(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\Bigg)\mathbf{j} + \Bigg(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigg)\mathbf{k}$
기억하기 쉽도록 벡터미분연산자$\nabla$('델')을 다음과 같이 도입하자.
$\nabla = \mathbf{i}\frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{j}\frac{\partial}{\partial y} + \mathbf{k}\frac{\partial}{\partial z}$
이것은 $f$의 기울기를 얻기 위하여 스칼라함수에 적용할 때 의미를 갖는다.
만약 $\nabla$을 벡터로 생각하면 다음과 같은 벡터곱으로 회전을 정의할 수 있다.
$\nabla × \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} = curl \mathbf{F}$
$f$가 연속인 2계 편도함수를 갖는 삼변수함수일 때, 클레로 정리에 의하여
curl($\nabla f$) = $\nabla × (\nabla f)$ = $\mathbf{0}$이다.
$\mathbf{F}$가 $\mathbb{R}^{3}$상에서 정의된 벡터장이고, 이 성분함수들이 연속인 편도함수를 갖고 curl $\mathbf{F} = \mathbf{0}$이면 $\mathbf{F}$는 보존적 벡터장이다.
회전이라고 이름을 붙인 이유는 회전벡터가 회전과 관계 있기 때문이다. 유체에서 질점들은 curl F의 방향을 가리키는 축에 대해 회전하려는 경향이 있고, 이 회전벡터의 길이는 질점들이 얼마나 빨리 축 둘레를 돌려고 하는가를 가늠하는 척도이다.
$\mathbf{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j} + R\mathbf{k}$가 $\mathbb{R}^{3}$상의 벡터장이고 각 성분함수의 편도함수가 존재할 때, $\mathbf{F}$의 발산(divergence)은
div $\mathbf{F} = \displaystyle\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
로 정의된 삼변수함수이다.
div는 스칼라장이다. 기호표시법으로는 div $\mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F}$로 쓸 수 있다.
$\mathbf{F} = P\mathbf{i}+Q\mathbf{j}+R\mathbf{k}$가 $\mathbb{R}^{3}$에서 벡터이고, $P, Q, R$이 연속인 2계 편도함수를 가지면 div curl $\mathbf{F} = \nabla \cdot (\nabla × \mathbf{F}) = 0$이다.
발산이란 이름을 붙인 이유는 유체 흐름의 내용에서 이해될 수 있다. F가 유체의 속도일 때 div F는 단위 부피당 점으로부터 흐르는 유체의 질량의 순변화율(시간에 관한)을 나타낸다. 다른 말로 div F는 점으로부터 발산하는 유체의 경향을 측정한다. div F = 0일 때, F를 압축불가능이라 부른다.
또 다른 미분연산자는 기울기 벡터장의 발산을 계산할 때 일어난다.
$f$가 삼변수함수일 때 div($\nabla f$) = $\nabla \cdot (\nabla f) = \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}$를 얻고 이 표현은 흔히 $\nabla^{2}f$로 줄여 쓴다.
$\nabla^{2} = \nabla \cdot \nabla$를 라플라스 연산자(Laplace operator)라 부른다.
왜냐하면 라플라스 방정식(Laplace's equation) $\nabla^{2}f=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} = 0$과의 관계 때문이다.
그린 정리의 벡터형식
벡터장의 선적분은 $\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\oint_{C}Pdx+Qdy$이고,
회전은 curl $\displaystyle\mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P(x, y) & Q(x, y) & 0 \end{vmatrix} = \Bigg(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigg)\mathbf{k}$이다.
그린 정리에 있는 방정식을 다음의 벡터 형식으로 쓸 수 있다.
$\displaystyle\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint\limits_{D} (curl \mathbf{F})\cdot\mathbf{k}dA$
이는 $C$를 따라 움직이는 벡터장의 접선성분의 적분은 $C$에 의해 둘러싸인 영역 $D$상에서 $F$의 회전의 수직성분의 이중적분으로 나타낼 수 있음을 말해준다.
$C$가 벡터방정식 $\mathbf{r}(t) = x(t)\mathbf{i} + y(t)\mathbf{j}$ $a \le t \le b$에 의하여 주어질 때, 단위접선벡터는 $\mathbf{T}(t) = \frac{x'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}\mathbf{i} + \frac{y'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}\mathbf{j}$이다.
$C$에 대한 바깥쪽으로의 단위 접선 벡터(T와 직교)가 $\mathbf{n}(t)=\frac{y'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}\mathbf{i}-\frac{x'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}\mathbf{j}$로 주어짐을 증명할 수 있다.
$\displaystyle\oint_{C}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}ds = \iint\limits_{D}div\mathbf{F}(x, y)dA$
이 식의 설명은 $C$ 위에서 $F$의 법선성분의 선적분은 $C$에 의하여 둘러싸인 영역 $D$에서 $F$의 발산의 이중적분과 같다는 것을 말해준다.
면적분
면적분과 곡면 넓이와의 관계는 선적분과 호의 길이와의 관계와 많은 점에서 같다.
곡면 $S$ 위의 $f$의 면적분(surface integral)을 다음과 같이 정의한다.
$\displaystyle\iint\limits_{S}f(x,y,z)dS=\lim_{m,n→\infty}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f(P_{ij}^{*})\Delta S_{ij}$
이 식에 있는 면적분을 계산하기 위해 조각의 넓이를 접평면 위의 근사 평행사변형의 넓이로 근사시킨다.
$\displaystyle\iint\limits_{S}f(x,y,z)dS=\iint\limits_{D}f(\mathbf{r}(u,v))|\mathbf{r}_{u}×\mathbf{r}_{v}|dA$
$\displaystyle|\mathbf{r}_{x}×\mathbf{r}_{y}|=\sqrt{\Bigg(\frac{\partial z}{\partial x}\Bigg)^{2} + \Bigg(\frac{\partial z}{\partial y}\Bigg)^{2} + 1}$이다.
따라서 $\displaystyle\iint\limits_{S}f(x,y,z)dS=\iint\limits_{D}f(x,y,g(x,y))\sqrt{\Bigg(\frac{\partial z}{\partial x}\Bigg)^{2}+\Bigg(\frac{\partial z}{\partial y}\Bigg)^{2} + 1}dA$가 된다.
$S$를 $yz$평면이나 $xz$평면 위로 투영하는 것이 더욱 편리할 때 유사한 공식이 적용된다.
벡터장의 면적분을 정의하기 위하여 뫼비우스 띠처럼 방향을 줄 수 없는 곡면을 제외할 필요가 있다.
즉, 가향(orientable)(양면)곡면만 다루자. 그러면 위 아래로 두가지 법선 벡터가 존재할 것이다.
법선벡터는 $S$ 위에서 연속적으로 변하도록, 이러한 모든 점에서 단위 법선벡터를 택할 수 있으면, $S$를 유향곡면(oriented surface)이라 부르고 법선벡터의 주어진 선택은 $S$에 방향(orientation)을 제공해준다.
구면에 대해서는 외부를 가리키면 양의 방향, 내부를 가리키면 음의 방향이 된다.
$\mathbf{F}$가 단위 법선벡터 $\mathbf{n}$을 가지는 유향곡면 $S$상에서 정의된 연속 벡터장이면, $S$상에서 $\mathbf{F}$의 면적분(혹은 유량적분, flux integral)은 $\displaystyle\iint\limits_{S}\mathbf{F}\cdot dS = \iint\limits_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}dS$이다. 또한 이 적분을 $S$를 통과하는 $\mathbf{F}$의 유량(flux)이라고도 부른다.
$\mathbf{n}$과 $S$를 벡터함수로 표현하면 $\displaystyle\iint\limits_{S}\mathbf{F}\cdot dS = \iint\limits_{D}\mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_{u}×\mathbf{r}_{v})dA$이다.
따라서 $\displaystyle\iint\limits_{S}\mathbf{F}\cdot dS = \iint\limits_{D}\Bigg(-P\frac{\partial g}{\partial x}-Q\frac{\partial g}{\partial y}+R\Bigg)dA$가 된다.
이 공식은 $S$의 위로 향한 방향을 가정한다. 아래로 향한 방향에 대하여 $S$는 -1을 곱한다.
스토크스 정리
스토크스 정리는 고차원적인 그린정리로 간주할 수 있다.
그린 정리가 평면영역 $D$상의 이중적분이 이 영역의 평면 경계곡선상의 선적분과 관계가 있음을 설명해주는 반면, 스토크스 정리는 곡면 $S$상의 면적분이 $S$의 경계곡선상의 선적분과 관계가 있음을 설명해준다.
스토크스 정리(Stokes' Theorem)
$S$를 양의 방향을 가지는 단순하고 닫힌 부분적으로 매끄러운 경계곡선 $C$에 의하여 유계된 부분적으로 매끄러운 유향곡면이라 하자. $\mathbf{F}$가 벡터장으로 이것의 성분들이 $S$를 포함하는 $\mathbb{R}^{3}$에 속하는 열린 영역상에서 연속인 편도함수를 가진다고 하자. 그러면 다음과 같다.
$\displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint\limits_{S}curl \mathbf{F}\cdot dS$
사실상, 특수한 경우로 $S$가 위쪽 방향을 가진 평평하고 $xy$평면에 놓인 평평한 곡면이면 단위 법선은 $\mathbf{k}$이고 면적분은 이중적분이 되고 스토크스 정리는 $\displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint\limits_{S}curl\mathbf{F}\cdot dS=\iint\limits_{S}(curl \mathbf{F})\cdot\mathbf{k}dA$가 된다.
따라서 그린정리는 실제로 스토크스 정리의 특수한 경우임을 알 수 있다.
발산정리
발산정리(Divergence Theorem)
$E$는 경계곡면 $S$가 양(외부 쪽으로)의 방향을 갖는 단순입체 영역이라 하자. $\mathbf{F}$는 그 성분함수들이 $E$를 포함하는 열린 영역상에서 연속인 편도함수를 갖는 벡터장이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.
$\displaystyle\int\limits_{S}\mathbf{F}\cdot dS = \iiint\limits_{E}div \mathbf{F}dV$
발산 정리는 주어진 조건 아래, $E$의 경계곡면을 가로지르는 $\mathbf{F}$의 유량은 $E$ 위에서 $\mathbf{F}$의 발산의 삼중적분과 같음을 말해준다.
단순입체 영역뿐만 아니라 유한개의 단순입체 영역의 합집합인 영역에 대하여도 성립한다.
$div F$는 단위 부피당 외부로 향하는 유량의 비율임을 말해준다. 이것이 발산이라 이름 붙인 이유이다.
$div F>0$이면, 순흐름은 외부로 향하고, 그 지점을 용출점(source)이라 부른다.
$div F<0$일 때 순흐름은 내부로 향하고, 그 지점을 흡입점(sink)이라 부른다.
'Math > Calculus' 카테고리의 다른 글
| 미분적분학을 배움으로써 (0) | 2022.10.08 |
|---|---|
| 13. 다중적분 (0) | 2022.09.22 |
| 12. 편도함수 (0) | 2022.09.20 |
| 11. 벡터함수 (0) | 2022.09.19 |
| 10. 벡터와 공간기하학 (0) | 2022.09.18 |