하늘 보면서 살자구요

라플라스 변환의 의의는 복잡한 상미분 방정식을 보조방정식이라는 대수방정식으로 변환하여 간단히 하고 이를 역변환하여 해를 쉽고 빠르게 구하는 것이다. $F(s) = \mathscr{L}(f) = \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)dt$ 라플라스 변환은 선형연산으로 다음 규칙이 성립한다. $\mathscr{L}\{ af(t) + bg(t)\} = a\mathscr{L}\{ f(t)\} + b\mathscr{L}\{ g(t)\}$ 아래는 기본적인 변환들이다. f(t) $\mathscr{L}(f)$ f(t) $\mathscr{L}(f)$ $t^{n}$ $\frac{n!}{s^{n+1}}$ $e^{at}$ $\frac{1}{s-a}$ $\cos{\omega t}$ $\fr..

미분방정식의 수가 많아지면 일반해를 세울 수 있다. 이때 각 함수(기저)들은 1차 독립이어야 1차결합으로 표현 가능하다. 이때 Wronskian W를 사용하면 쉽게 판별할 수 있다. $W(y_{1}, \cdots , y_{n}) = \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} & \cdots & y_{n} \\ y_{1}^{'} & y_{2}^{'} & \cdots & y_{n}^{'} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_{1}^{(n-1)} & y_{2}^{(n-1)} & \cdots & y_{n}^{(n-1)} \end{vmatrix}$ 이 행렬식이 0이 아니라면, 각 함수들은 선형 독립이다. 연립방정식은 행렬로 표현하고, 해를 구할 수 있다. $Ax ..

제차 선형상미분방정식에 대해 중첩의 원리 또는 선형성의 원리가 적용된다. 이는 2계라면, 일반해 y가 y1과 y2의 1차 결합으로 표현된다는 것이다. n계 제차 선형상미분방정식의 경우 해는 $y = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} c_{i}y_{i}$이다. 일차결합 식이 0과 같을 때, 각 계수가 0이어야만 성립한다면 1차 독립이라고 부른다. 이때 yi값들을 기저라고 부른다. 따라서 기저끼리는 비례하지 않는다. 즉, 일반해는 기저의 1차 결합으로 나타낼 수 있다. 2계 제차 선형 상미분 방정식 $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$ 1. 차수 축소 법 (Reduction of order) 한 개의 해를 알고 있을 때 1계 미분방정식을 유도해서 다른 해를 구하는 방법이다. 일반해..

상미분 방정식(Ordinary Differential Equation, ODE)이란, 미지함수의 도함수를 포함하는 방정식이다. 계(Order)란, 방정식에 포함된 도함수 중 제일 미분된 숫자를 의미한다. 미분방정식의 경우 폭넓은 일반해가 있고, 특정 값이 주어지면 정해지는 특수해가 있다. (주로 초기값 문제(Initial Value Problem, IVP)에서 주어진 초기조건으로 특수해를 구한다) 1-1. 변수 분리형 (separable variable) $g(y)y' = f(x)$ 또는 $y' = g(x)h(y)$ 이렇게 표현 가능하면, 각변끼리 적분하면 해가 나온다. $\displaystyle\int g(y)dy = \int f(x)dx + C$ 1-2. 변수 치환 (variable change) $..