4. 라플라스 변환

라플라스 변환의 의의는 복잡한 상미분 방정식을
보조방정식이라는 대수방정식으로 변환하여 간단히 하고
이를 역변환하여 해를 쉽고 빠르게 구하는 것이다.

$F(s) = \mathscr{L}(f) = \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)dt$

 라플라스 변환은 선형연산으로 다음 규칙이 성립한다.
$\mathscr{L}\{ af(t) + bg(t)\} = a\mathscr{L}\{ f(t)\} + b\mathscr{L}\{ g(t)\}$

아래는 기본적인 변환들이다.

f(t)	$\mathscr{L}(f)$	f(t)	$\mathscr{L}(f)$
$t^{n}$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$	$e^{at}$	$\frac{1}{s-a}$
$\cos{\omega t}$	$\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}$	$\sin{\omega t}$	$\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}$
$\cosh{at}$	$\frac{s}{s^{2}-a^{2}}$	$\sinh{at}$	$\frac{a}{s^{2}-a^{2}}$
$e^{at}\cos{\omega t}$	$\frac{s-a}{(s-a)^{2}+\omega^{2}}$	$e^{at}\sin{\omega t}$	$\frac{\omega}{(s-a)^{2}+\omega^{2}}$

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S-space shifting

$\mathscr{L}\{ e^{at}f(t)\} = F(s-a)$이다.
즉, $f(t)$의 변환을 알고 있다면 $e^{at}f(t)$의 변환도 구할 수 있다는 것이다.

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도함수와 적분의 변환

원함수부터 도함수까지 모두 $t \geq 0$에서 연속이며
너무 빠르게 증가하지 않는다면,
$\mathscr{L}(f^{n}) = s^{n}\mathscr{L}(f) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0)$이다.

적분에 대해서도 동일하게
s > 0, s > k, t > 0에 대하여
$\displaystyle\mathscr{L}\Big{\{}\int_{0}^{t} f(\tau )d\tau \Big{\}} = \frac{1}{s}F(s)$이다.

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불연속 함수의 표현

일반적으로 불연속인 함수는 구간마다 다른 함수들로 표현된다.
이때 함수의 평행이동과 단위계단함수(Heaviside function)를 이용하면 편리하다.
$u(t-a) = 0$ (t < a 일때)
$u(t-a) = 1$ (t > a 일때)

$\displaystyle\mathscr{L}\{ u(t-a)\} = \frac{e^{-as}}{s}$
이를 이용하면 구간마다 함수를 정의할 필요 없이
모든 정의역에서 하나의 함수로 표현 가능하다.

따라서 다음과 같은 이동함수의 합으로 표현 가능하다.
$\tilde{f}(t) = f(t-a)u(t-a) = 0$ (t < a 일때)
$\tilde{f}(t) = f(t-a)u(t-a) = f(t-a)$ (t > a 일때)

이때 변환은 $\mathscr{L}\{ f(t-a)u(t-a)\} = e^{-as}F(s)$이다.

만약 f(t)를 f(t-a)로 변환하는 것이 쉽지 않다면,
$\mathscr{L}\{ f(t)u(t-a)\} = e^{-as}\mathscr{L}\{ f(t+a)\}$로 대체할 수 있다.

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응용: Dirac 델타 함수

이 내용은 짧은 시간 구간에 걸쳐
힘의 영향이 가해지는 충격적 특성의 현상을 다룬다.

우선 Dirac delta function이 다음과 같이 정의된다.
$\delta (t-a) = \infty$ (t = a 일때)
$\delta (t-a) = 0$ (그 외)

이를 일반화하면 다음과 같다.
$f_{k}(t-a) = 1/k$ ($a \leq t \leq a+k$ 일때)
$f_{k}(t-a) = 0$ (그 외)

이때 $\delta (t-a) = \lim\limits_{k \to 0}f_{k}(t-a)$이므로
$\int_{0}^{\infty}\delta (t-a) dt = 1$이고 $\int_{0}^{\infty}g(t)\delta (t-a) dt = g(a)$에 따라
결과적으로 $\mathscr{L}\{\delta (t-a)\} = e^{-as}$가 성립한다.

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합성곱(Convolution)

함수 곱에 대한 변환은 $\mathscr{L}(fg) ≠ \mathscr{L}(f)\mathscr{L}(g)$가 아니다.
따라서 합성곱의 변환을 이용한다.
$h(t) = (f*g)(t) = \int_{0}^{t}f(\tau)g(t-\tau )d\tau$

$\mathscr{L}\{h(t)\} = \mathscr{L}\{f*g\} = \mathscr{L}(f)\mathscr{L}(g)$
합성곱 연산자는 교환, 분배, 결합 법칙이 성립한다.
단, $f*0 = 0*f = 0$이지만 $f*1≠f$이다.

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변환의 미분과 적분

라플라스 변환의 정의에 따라 $F'(s) = - \int_{0}^{\infty} e^{-st}tf(t)dt$이므로
$\mathscr{L}(f) = F(s)$이면 $\mathscr{L}\{tf(t)\} = -F'(s)$가 성립한다.
이를 통해 다음 3가지 공식이 유도된다.

$\mathscr{L}(f)$	$f(t)$
$\frac{1}{(s^{2}+\omega^{2})^{2}}$	$\frac{1}{2\omega^{3}}(\sin{\omega t} - \omega t\cos{\omega t})$
$\frac{s}{(s^{2}+\omega^{2})^{2}}$	$\frac{1}{2\omega}\sin{\omega t}$
$\frac{s^{2}}{(s^{2}+\omega^{2})^{2}}$	$\frac{1}{2\omega}(\sin{\omega t}+\omega t\cos{\omega t})$

미분과 유사하게 t가 0+로 접근할 때 f(t)/t의 극한이 존재하면,
$\mathscr{L}\Big\{\frac{f(t)}{t}\Big\} = \int_{s}^{\infty}F(\bar{s})d\bar{s}$가 성립한다.