2. 2계 상미분 방정식

제차 선형상미분방정식에 대해 중첩의 원리 또는 선형성의 원리가 적용된다.
이는 2계라면, 일반해 y가 y₁과 y₂의 1차 결합으로 표현된다는 것이다.

n계 제차 선형상미분방정식의 경우 해는 $y = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} c_{i}y_{i}$이다.

 

일차결합 식이 0과 같을 때, 각 계수가 0이어야만 성립한다면 1차 독립이라고 부른다.
이때 y_i값들을 기저라고 부른다.

따라서 기저끼리는 비례하지 않는다.

 

즉, 일반해는 기저의 1차 결합으로 나타낼 수 있다.

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2계 제차 선형 상미분 방정식

$y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$

 

1. 차수 축소 법 (Reduction of order)

한 개의 해를 알고 있을 때 1계 미분방정식을 유도해서 다른 해를 구하는 방법이다.

 

일반해는 기저의 1차 결합이므로, 한 해에 함수 u를 곱해 비례하지 않는 다른 해를 만들 수 있다. $y_{2} = uy_{1}$

이렇게 하면 u항들이 소거되어 u''와 u'에 대하여 정리되는데 이를 v'과 v로 치환하면 1계 미분방정식이 된다.

 

만약 처음 식이 y''과 y'에 대하여 정리할 수 있다면 바로 치환하여 1계 미분방정식으로 풀 수 있다.

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2. 계수가 상수인 제차 선형 상미분 방정식

$y'' + ay' + by = 0$

 

$y' + ky = 0$의 해가 $y = e^{\lambda x}$인 것을 응용하면 특성 방정식이 세워진다.
이때 특성 방정식 $\lambda^{2} + a\lambda + b = 0$의 판별식에 따라 일반해가 달라진다.

허근은 오일러 공식을 도입하여 기저를 구한다.

 

3. 비감쇠 시스템

두 복소근을 갖는 형태에 주목한다.

 

$my'' + ky = 0$

이 식은 특성방정식이 무조건 두 복소근을 갖게 된다.
이때 허근의 계수는 $\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}$으로 표현된다.

 

$y = A\cos{\omega_{0}t} + B\sin{\omega_{0}t}$
일반해의 경우, 삼각함수로 표현되며 이를 조화진동이라고 부른다.
조화진동은 진폭이 감소하지 않는 비감쇠 시스템이다.

주기 $f = \omega_{0} / 2\pi = 1 cycle / sec$

 

4. 감쇠 시스템

조화 진동은 이상적인 운동이다.
실제는 감쇠력이 포함되어 점차 진폭이 작아진다.

 

$my'' + cy' + ky = 0$

이 식은 <계수가 상수인 제차 선형 상미분 방정식>과 유사하다.
따라서 3가지 일반해가 존재한다.

저감쇠에서 c가 작아질수록 조화진동에 가까워지는 것을 알 수 있다.

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Euler-Cauchy equation

$x^{2}y'' + axy' + by = 0$

 

$y = x^{m}$을 대입하면 m에 대한 보조방정식을 얻을 수 있고
특성방정식이 그랬던 것처럼 여기서도 3가지 일반해가 가능하다.
$m^{2} + (a-1)m + b = 0$

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2계 비제차 선형 상미분 방정식

$y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x) \neq 0$

 

비제차 선형 상미분방정식의 일반해는
제차 상미분방정식의 일반해와 비제차 선형 상미분방정식의 특수해 합으로 구한다.
$y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x) = (c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2})+y_{p}(x)$

 

$y_{h}(x)$는 $y''+py'+qy=0$을 통해 일반해를 구하면 되고,
$y_{p}(x)$는 미정계수법을 이용한다.

기본규칙: r(x)의 종류에 따라 y_p를 선택하면 된다.
변형규칙: 단, y_p가 y_h의 해가 되면 x를 곱하고, 특성방정식의 이중근에 해당하면 x²을 곱한다.

합규칙: 만약 r(x)가 여러 함수의 합으로 되어 있다면, y_p도 해당 함수의 합으로 나타낸다.