1. 1계 상미분방정식

상미분 방정식(Ordinary Differential Equation, ODE)이란,

미지함수의 도함수를 포함하는 방정식이다.

계(Order)란, 방정식에 포함된 도함수 중 제일 미분된 숫자를 의미한다.

 

미분방정식의 경우 폭넓은 일반해가 있고,
특정 값이 주어지면 정해지는 특수해가 있다.

(주로 초기값 문제(Initial Value Problem, IVP)에서 주어진 초기조건으로 특수해를 구한다)

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1-1. 변수 분리형 (separable variable)

$g(y)y' = f(x)$ 또는 $y' = g(x)h(y)$

 

이렇게 표현 가능하면, 각변끼리 적분하면 해가 나온다.

$\displaystyle\int g(y)dy = \int f(x)dx + C$

 

1-2. 변수 치환 (variable change)

$\displaystyle y' = F\Big(\frac{y}{x}\Big) = F(u)$

 

y'=으로 시작했을 때 우변이 x와 y의 분수꼴이면 $\frac{y}{x} = u(x)$로 치환한다.
그렇게 풀면 $\displaystyle\frac{1}{F(u) - u}du = \frac{1}{x}dx$가 되며
변수 분리형으로 푼 후 치환을 되돌리면 된다.

 

 

$\displaystyle y' = \frac{dy}{dx} = F(ax + by) = F(z)$

 

y'=으로 시작했을 때, 우변이 ax+by의 선형결합으로 묶을 수 있다면 치환한다.

$\displaystyle\frac{dz}{dx} = a + \frac{dy}{dx}$이고, z를 대입한 y'을 대입하면
z와 x의 변수 분리형이 된다.

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2. 제차 선형 (homogeneous linear ODE)

 

$y' + p(x)y = 0$

 

$\displaystyle\frac{dy}{y} = -p(x)dx$꼴의 변수 분리형으로 만들 수 있고
해는 $\displaystyle y = ce^{-\int p(x)dx}$가 된다.

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3. 비제차 선형 (nonhomogeneous linear ODE) + 완전 ODE가 아닌 경우

$y' + p(x)y = r(x) \neq 0$

 

$(py - r)dx + dy = 0$으로 정리했을 때 완전 상미분 방정식이 아니라면,

$Pdx + Qdy = 0$으로 $R(x) = \displaystyle\frac{1}{Q}\Big(\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}\Big) = p(x)$의
적분인자 $F(x) = e^{\int pdx}$를 양변에 곱해서 완전 상미분 방정식으로 만든 후 해를 구한다.

이때 해는 $\displaystyle y=e^{-\int pdx}\Big[\int re^{\int pdx}dx + C\Big]$가 된다.

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4. (비선형) 베르누이 방정식 (Bernoulli equation)

$y' + p(x)y = g(x)y^{a}$

 

$u(x) = y^{1-a}$이라 두고, $u'$식에서
$y' = g(x)y^{a} - p(x)y$를 대입하여
$u' + (1-a)pu = (1-a)g(x)$를 만들면

$y' + p(x)y = r(x) \neq 0$과 같이 비제차 선형 ODE가 된다.

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5. 완전 상미분방정식

$M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$이고, $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$일 때
해는 $u(x, y) = c$로 표현할 수 있다.

따라서 $du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy = 0$이므로
$u(x, y) = \int M(x, y)dx + k(y)$로 두고
$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\int Mdx + \frac{dk}{dy} = N(x, y)$를 풀어
$k(y)$를 구해 해를 완성시키면 된다.

 

반대로 $u(x, y) = \int N(x, y)dy + l(x)$로 두고
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\int Ndy + \frac{dl}{dx} = M(x, y)$를 풀어
$l(x)$를 구해 해를 완성시키는 방법도 있다.