3. 행렬과 미분방정식

미분방정식의 수가 많아지면 일반해를 세울 수 있다.
이때 각 함수(기저)들은 1차 독립이어야 1차결합으로 표현 가능하다.
이때 Wronskian W를 사용하면 쉽게 판별할 수 있다.

$W(y_{1}, \cdots , y_{n}) = \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} & \cdots & y_{n} \\ y_{1}^{'} & y_{2}^{'} & \cdots & y_{n}^{'} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_{1}^{(n-1)} & y_{2}^{(n-1)} & \cdots & y_{n}^{(n-1)} \end{vmatrix}$
이 행렬식이 0이 아니라면, 각 함수들은 선형 독립이다.

---

연립방정식은 행렬로 표현하고, 해를 구할 수 있다.
$Ax = b$의 행렬은 간단하게 $x = A^{-1}b$로 구할 수 있다.

이때 A의 역행렬이 상수라면 더더욱 쉽게 나타낼 수 있다.
그러한 스칼라 값 $\lambda$를 A의 고유값(eigenvalue)이라고 하며
$\lambda$에 대응하는 벡터 x를 A의 고유벡터(eigenvector)라고 한다.

고유값을 구하기 위해서는 $(A - \lambda I)x = 0$을 풀면 되고
x ≠ 0인 해가 존재하기 위해서는 역행렬이 존재하면 안되고
이는 특이행렬임을 의미하며 행렬식이 0이면 되므로
$det(A - \lambda I) = 0$을 만족하면 된다.

이렇게 구한 고유값은 특성방정식(특성행렬식)의 해가 되며
이를 통해 기저를 구할 수 있고
최종적으로 미분방정식의 일반해를 작성할 수 있다.