2차원 평면(해석기하학)에서 좌표축을 하나 더 추가하면 3차원 입체 공간이 된다.
카테시안 곱 $\mathbb{R} × \mathbb{R} × \mathbb{R} = \{(x, y, z)|x, y, z \in \mathbb{R}\}$는 세 실수의 순서쌍 전체의 집합이고 $\mathbb{R}^{3}$로 나타낸다.
이것은 곤간의 점과 순서쌍 사이에 일대일 대응관계를 나타내는 것으로 삼차원 직교좌표계(three dimensional rectangular coordinate system)라 부른다.
공간 상의 점을 한 평면에 수직선을 내려서 생기는 점을 평면 위의 사영(projection)이라 부른다.
구면의 방정식
중심이 $C(h, k, l)$이고 반지름의 길이가 $r$인 구면의 방정식은 $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}+(z-l)^{2}=r^{2}$이다.
특히, 중심이 원점 $O$인 구면의 방정식은 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$이다.
벡터
벡터(vector)라는 용어는 크기와 방향을 가진 양을 가리키는 데 이용된다.
(흔히 화살표나 유향선분으로 나타낸다.)
벡터의 합의 정의
두 벡터 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$에 대하여 $\mathbf{v}$의 시작점이 $\mathbf{u}$의 끝점과 일치한다고 가정하면 합 $\mathbf{u}+\mathbf{v}$는 벡터이고 시작점은 $\mathbf{u}$의 시작점과 같고 끝점은 $\mathbf{v}$의 끝점과 같다.
벡터의 스칼라곱의 정의
$c$가 스칼라이고 $\mathbf{v}$가 벡터이면 스칼라곱(scalar multiple) $c\mathbf{v}$는 길이가 $\mathbf{v}$의 길이에 $|c|$를 곱한 것과 같고, $c>0$이면 $\mathbf{v}$와 같은 방향이고 $c<0$이면 $\mathbf{v}$와 반대방향의 벡터이다. 만일 $c=0$ 또는 $\mathbf{v}=\mathbf{0}$이면 $c\mathbf{v}=\mathbf{0}$이다.
0이 아닌 두 벡터에 대하여 한 벡터가 다른 벡터의 스칼라곱이면 두 벡터는 평행하다고 정의한다.
어떤 목적을 위해서는 좌표계를 도입하고 벡터를 대수적으로 취급하는 것이 최선인 경우가 있다.
직교좌표계의 원점에 벡터의 시작점을 놓았을 때 벡터의 끝점 좌표를 성분(components)이라 한다.
원점이 시점인 벡터를 특별히 위치벡터(position vector)라 한다.
벡터의 크기(magnitude) 또는 길이(length)는 기호 $|\mathbf{v}|$ 또는 $||\mathbf{v}||$로 나타낸다.
표준기저벡터(standard basis vectors)
$\mathbf{i} = <1, 0, 0>$ $\mathbf{j} = <0, 1, 0>$ $\mathbf{k} = <0, 0, 1>$
단위벡터(unit vector)는 크기가 1인 벡터이다.
내적
$\mathbf{a} = <a_{1}, a_{2}, a_{3}>$, $\mathbf{b} = <b_{1}, b_{2}, b_{3}>$에 대하여 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$의 내적(dot product) $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}$로 정의한다.
내적의 결과는 벡터가 아니라 실수, 즉 스칼라이다.
이러한 이유로 내적을 때때로 스칼라곱(scalar product) 또는 내적(inner product)이라 부른다.
내적은 다음과 같이 기하학적으로 설명할 수 있다.
$\theta$가 벡터 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$ 사이의 각이면 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$이다.
따라서 $\theta$가 영이 아닌 벡터 사이의 각이면, $\cos\theta = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$
그러므로 두 벡터 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$가 수직일 필요충분조건은 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$이다.
영이 아닌 벡터 $\mathbf{a}$의 방향각(direction angles)은 $\mathbf{a}$가 $x$축, $y$축, $z$축의 양의 방향과 각각 만드는 각 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ (구간 $[0, \pi]$에서)를 말한다.
또 이들 방향각의 코사인 $\cos\alpha$, $\cos\beta$, $\cos\gamma$를 벡터 $\mathbf{a}$의 방향코사인(direction cosines)이라 부른다. ($\cos\alpha = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{i}}{|\mathbf{a}||\mathbf{i}|} = \frac{a_{1}}{|\mathbf{a}|}$)
$\mathbf{a} = |\mathbf{a}|<\cos\alpha , \cos\beta , \cos\gamma >$
$p$를 $v$에서 $u$를 포함하는 직선에 내린 수선의 발이라고 할 때,
$\mathbf{p}$인 벡터를 $\mathbf{u}$ 위로의 $\mathbf{v}$의 벡터 사영(vector projection)이라 부르고 proja$\mathbf{b}$로 표현한다.
$\mathbf{u}$ 위로의 $\mathbf{v}$의 스칼라 사영(scalar projection)(또는 $\mathbf{u}$방향의 $\mathbf{v}$성분)은 $\theta$가 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$ 사이의 각일 때, $|\mathbf{v}|\cos\theta$로 정의한다.
$\mathbf{u}$ 위로의 $\mathbf{v}$의 스칼라 사영 : comp$\mathbf{u}$$\mathbf{v} = \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}|} = |\mathbf{v}|\cos\theta$
$\mathbf{u}$ 위로의 $\mathbf{v}$의 벡터 사영 : proj$\mathbf{u}$$\mathbf{v} = \big( \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}|}\big) \frac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|}$
벡터곱
$\mathbf{a} = <a_{1}, a_{2}, a_{3}>$, $\mathbf{b} = <b_{1}, b_{2}, b_{3}>$일 때, $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$의 벡터곱(cross product) 또는 외적은 $\mathbf{a}×\mathbf{b} = <a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}, a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}, a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}>$이다.
위 정의를 쉽게 기억할 수 있도록 하기 위하여 행렬식의 표현법을 이용한다.
이차행렬식(determinant of order 2)은 $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$로 정의된다.
삼차행렬식은 이차행렬식에 의하여 다음과 같이 정의될 수 있다.
$\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix} = a_{1}\begin{vmatrix} b_{2} & b_{3} \\ c_{2} & c_{3} \end{vmatrix} - a_{2}\begin{vmatrix} b_{1} & b_{3} \\ c_{1} & c_{3} \end{vmatrix} + a_{3}\begin{vmatrix} b_{1} & b_{2} \\ c_{1} & c_{2} \end{vmatrix}$
위 두 식을 통해 이차행렬식과 표준기저벡터를 이용해서 벡터곱을 다음과 같이 쓸 수 있다.
$\mathbf{a}×\mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{vmatrix}$
참고로 벡터 $\mathbf{a}×\mathbf{b}$는 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$ 모두와 직교한다.
$\theta (0\le \theta \le \pi)$가 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$ 사이의 각이면 $|\mathbf{a}×\mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta$이다.
따라서 영이 아닌 두 벡터 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$가 평행일 필요충분조건은 $\mathbf{a}×\mathbf{b}=\mathbf{0}$이다.
이를 통해 벡터곱의 크기는 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$에 의하여 결정되는 평행사변형의 넓이와 같다.
벡터곱은 교환법칙이 성립하지 않는다. 따라서 곱에 관한 결합법칙도 통상적으로 성립하는 것은 아니다.
$\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$가 벡터, $c$가 스칼라이면 다음과 같다.
1. $\mathbf{a}×\mathbf{b} = -\mathbf{b}×\mathbf{a}$ 2. $(c\mathbf{a})×\mathbf{b}=c(\mathbf{a}×\mathbf{b})=\mathbf{a}×(c\mathbf{b})$
3. $\mathbf{a}$×$(\mathbf{b}+\mathbf{c})$=$\mathbf{a}$×$\mathbf{b}$+$\mathbf{b}$×$\mathbf{c}$ 4. $(\mathbf{a}+\mathbf{b})$×$\mathbf{c}$ = $\mathbf{a}$×$\mathbf{c}$ + $\mathbf{b}$×$\mathbf{c}$
5. $\mathbf{a}$ $\cdot$ ($\mathbf{b}$×$\mathbf{c}$) = ($\mathbf{a}$ × $\mathbf{b}$) $\cdot$ $\mathbf{c}$ 6. $\mathbf{a}$×($\mathbf{b}$×$\mathbf{c}$) = ($\mathbf{a}$ $\cdot$ $\mathbf{c}$) $\mathbf{b}$ - ($\mathbf{a}$ $\cdot$ $\mathbf{b}$) $\mathbf{c}$
이 성질들은 벡터들을 성분으로 나타내고, 벡터곱의 정의를 이용하면 증명할 수 있다.
성질 5에 나타나는 곱을 벡터의 스칼라 삼중곱(scalar triple product)이라 부른다.
스칼라 삼중곱은 다음과 같이 행렬식으로 쓸 수 있다.
$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} × \mathbf{c}) = \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix}$
스칼라 삼중곱의 기하학적 의미는 벡터에 의해 결정되는 평행육면체를 생각함으로써 알 수 있다.(부피)
$V = Ah = |\mathbf{b}×\mathbf{c}| |\mathbf{a}| |\cos\theta| = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} × \mathbf{c})|$
만일 이렇게 생성된 평행육면체의 부피가 0이면 세 벡터는 "같은 평면 위에 놓여 있음(coplanar)"을 알 수 있다.
직선과 평면의 방정식
삼차원에서 직선의 방향은 다음과 같이 벡터에 의하여 편리하게 기술된다.
벡터방정식(vector equation) $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{0} + t\mathbf{v}$이다.
매개변수(parameter) $t$의 값에 따라 직선 $L$ 위의 점의 위치벡터 $\mathbf{r}$이 정해진다.
성분을 이용하여 표현하면 다음과 같다.
$<x, y, z> = <x_{0} + ta, y_{0} + tb, z_{0} + tc>$
이들 방정식을 점 $P_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})$를 지나고 벡터 $\mathbf{v} = <a, b, c>$에 평행한 직선 $L$의 매개방정식(parametric equations)이라 부른다.
일반적으로, 벡터가 직선의 방향을 묘사하는 데 이용될 때, 수 $a, b, c$를 $L$의 방향수(direction numbers)라 부른다.
각 방정식을 $t$에 관하여 풀면 $\frac{x-x_{0}}{a} = \frac{y-y_{0}}{b} = \frac{z-z_{0}}{c}$를 얻는다.
이 방정식을 $L$의 대칭방정식(symmetric equations)이라 부른다.
직선의 방정식을 응용하면 선분의 벡터방정식도 구할 수 있다.
$\mathbf{r}_{0}$에서 $\mathbf{r}_{1}$으로의 선분의 벡터방정식은
$\mathbf{r} (t) = (1-t)\mathbf{r}_{0} + t\mathbf{r}_{1}$ $0\le t \le 1$이다.
비록 공간에 있는 직선이 점과 방향에 의하여 결정된다 하더라도 공간에 있는 평면은 설명하기가 조금 더 힘들다.
따라서 공간에서 평면은 평면에 수직인 벡터(법선벡터(normal vector))에 의하여 결정된다.
법선벡터는 주어진 평면 위의 모든 벡터와 수직이다. ($\mathbf{n} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_{0}) = 0$)
이것은 $\mathbf{n} \cdot \mathbf{r} = \mathbf{n} \cdot \mathbf{r}_{0}$으로 고쳐 쓸 수 있고 이를 평면의 벡터방정식이라 부른다.
이를 성분으로 쓰면 $a(x-x_{0}) + b(y-y_{0}) + c(z-z_{0}) = 0$이 되며 이 방정식은 $P_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})$를 지나고, 법선벡터가 $\mathbf{n} = <a, b, c>$인 평면의 스칼라방정식이다.
일반적으로 $ax + by + cz + d = 0$으로, $x, y, z$에 관한 1차방정식 또는 선형방정식(linear equation)이라 부른다.
두 평면은 법선벡터가 평행일 때 평행(parallel)이다.
점 $P_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1})$에서 평면 $ax + by + cz + d = 0$까지의 거리 $D$에 관한 공식은 다음과 같다.
$D = |$comp$\mathbf{n}$$\mathbf{b}$| = $\displaystyle\frac{|\mathbf{n} \cdot \mathbf{b}|}{|\mathbf{n}|} = \frac{|ax_{1} + by_{1} + cz_{1} + d|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$
꼬인 직선 사이의 거리 구하기
꼬인 직선은 평행한 두 평면 위에 놓여 있다고 할 수 있다.
따라서 두 평면의 공통 법선은 각 직선의 방향 벡터와 모두 직교해야 한다.
이를 이용하면 법선벡터를 구할 수 있고, 한 직선에서 임의의 점을 설정한다.
이후 그 점과 다른 평면 사이의 거리를 구하면 직선 사이의 거리가 된다.
주면과 이차곡선
곡면의 그래프를 그리려면 곡면이 좌표평면에 평행한 평면과 만나는 교차곡선을 결정하는 것이 유용하다. 이러한 교차곡선을 곡면의 자취(traces or cross-sections)라 한다.
주면(cylinder)은 주어진 평면곡선을 지나고 주어진 직선과 평행한 모든 직선(모선, rulings)으로 이루어진 곡면이다.
이차곡면(quadric surface)은 세 변수에 관한 2차방정식의 그래프이다.
이러한 방정식의 가장 일반적인 형태는 $Ax^{2} + By^{2} + Cz^{2} + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0$이지만,
평행이동과 회전에 의하여 두 가지 표준형 $Ax^{2} + By^{2} + Cz^{2} + J = 0$ 또는 $Ax^{2} + By^{2} + Iz = 0$ 중 하나로 바꿀 수 있다.
따라서 방정식의 형태에 따라 타원면, 원뿔면, 타원포물면, 일엽쌍곡면, 쌍곡포물면, 이엽쌍곡면으로 나타난다.
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