수직선 판정에 의해 $y = f(x)$ 형태의 방정식으로 표현할 수 없는 곡선의 경우 다른 방식으로 함수를 정의해야 한다.
따라서 $x$와 $y$ 각각에 대해 새로운 변수 $t$(매개변수(parameter))를 도입해 $x = f(t)$, $y = g(t)$같은 매개방정식(혹은 매개변수방정식(parametric equations))으로 표현해야 한다.
많은 응용에서 t는 시각을 나타내고, $(x, y) = (f(t), g(t))$는 시각 t에서 질점 위치로 해석할 수 있다.
$y = f(x)$ 형태로 표현할 수 없을 뿐이지, 곡선에 대하여 우리가 이전까지 배웠던 내용을 토대로 다양한 정보를 수집할 수 있다.
접선
$f$와 $g$가 미분가능 함수라면 연쇄법칙에 의해 $\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} · \frac{dx}{dt}$이므로 $dx / dt \ne 0$이면
$\displaystyle\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$가 된다.
이를 해석해보면 $dy/dt$와 $dx/dt$는 각각 입자의 수직과 수평속도이고, 접선의 기울기는 이 속도의 비가 된다.
참고로 이계도함수는 다음과 같다. $\displaystyle\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \frac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}}$
넓이
곡선이 일단 매개변수방정식 $x = f(t)$와 $y = g(t)$, $\alpha \le t \le \beta$일 때, $dx = f'(t)dt$이므로 정적분의 치환적분법을 이용해 다음과 같이 넓이를 계산할 수 있다.
$A = \displaystyle\int_{a}^{b}ydx = \int_{\alpha}^{\beta}g(t)f'(t)dt$ [또는 $\int_{\beta}^{\alpha}g(t)f'(t)dt$]
호의 길이, 곡면의 넓이
이것도 되게 간단하다.
곡선 $C$가 매개변수방정식 $x = f(t)$와 $y = g(t)$, $\alpha \le t \le \beta$으로 주어지고 $f'$과 $g'$이 $[\alpha, \beta]$상에서 연속이고, 또 $t$가 $\alpha$에서 $\beta$로 증가할 때 $C$가 정확하게 한 번 선회하면, 곡선 $C$의 길이는 $L = \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{(\frac{dx}{dt})^{2} + (\frac{dy}{dt})^{2})}dt$이다.
이걸 그대로 이용하면 $x$축을 기준으로 회전한 회전체 곡면의 넓이도 다음과 같이 구할 수 있다.
$S = \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}2\pi y\sqrt{(\frac{dx}{dt})^{2} + (\frac{dy}{dt})^{2})}dt$
극좌표
좌표계는 x축, y축을 이용한 직교좌표계만 있는 것이 아니다.
여러가지 좌표계가 있고 각각의 편리한 쓰임새가 있다.
뉴턴은 극좌표계(polar coordinate system)라는 좌표계를 만들었고, 정의는 다음과 같다.
평면에서 극(pole)(또는 원점)이라 불리는 한 점을 택하고 $O$라는 명칭을 붙인다.
그리고 $O$에서 출발하는 극축(polar axis)이라 불리는 화살표(반직선)을 그린다.
만약 점 $P$가 평면 위의 한 점이라면, $O$에서 $P$까지의 거리를 $r$이라 하고,
$\theta$를 극축과 선분 $OP$사이의 각(라디안)이라 할 때,
점 $P$를 순서쌍 $(r, \theta)$로 나타내고 각각을 $P$의 극좌표(polar coordinate)라 한다.
우리는 지금까지 직교좌표계를 사용해왔고 더 친숙하다.
우선 직교좌표계에서의 정보를 극좌표계를 통해 표현해보자.
$x = r\cos\theta$ $y = r\sin\theta$
이 식은 극좌표를 알 때 그 점의 직교좌표를 알 수 있도록 해준다.
반대로 $x$와 $y$를 알 때 $r$과 $\theta$는 다음과 같이 구한다.
$r^{2} = x^{2} + y^{2}$ $\tan\theta = \frac{y}{x}$
이렇게 좌표를 변환할 수 있다면 나아가서 함수 또는 방정식도 변환할 수 있다.
극방정식(polar equation)의 그래프 $r = f(\theta)$ 또는 더 일반적으로 $F(r, \theta) = 0$의 그래프는 극좌표가 방정식을 만족하는 적어도 하나의 극표현 $(r, \theta)$를 가지는 점들로 구성된다.
그러므로 극방정식은 직교좌표계의 함수들과 달리 수직판정법에서 자유롭고 다채로운 곡선들을 표현할 수 있다.
대칭성을 살펴보자.
(a) 만약 극방정식이 $\theta$가 $-\theta$로 바뀌어도 불변이면, 그 곡선은 극축에 대하여 대칭이다.
(b) 만약 방정식이 $r$이 $-r$로 바뀌어도, 또는 $\theta$가 $\pi + \theta$로 바뀌어도 불변이면, 이 곡선은 극에 대하여 대칭이다.
(c) 만약 방정식이 $\theta$가 $\pi - \theta$로 바뀌어도 불변이면, 그 곡선은 수직선 $\theta = \pi/2$에 대하여 대칭이다.
극곡선에 대한 접선을 구해보자.
극곡선 $r = f(\theta)$에 대한 접선을 구하기 위하여 $\theta$를 매개변수로 간주하여 매개변수방정식을 다음과 같이 쓴다.
$x = r\cos\theta = f(\theta)\cos\theta$ $y = r\sin\theta = f(\theta)\sin\theta$
이 상태에서 기울기를 다음과 같이 구할 수 있다.
$\displaystyle\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{\frac{dr}{d\theta}\sin\theta + r\cos\theta}{\frac{dr}{d\theta}\cos\theta - r\sin\theta}$
극좌표에서 넓이와 길이
우선 원에서 부채꼴의 넓이에 대한 공식은 $A = \frac{1}{2}r^{2}\theta$이다.
이를 이용해 정적분의 정의를 통해 극좌표의 극영역에 대해 넓이를 유도할 수 있다.
극영역 $\mathcal{R}$의 넓이 $A = \displaystyle\lim_{n→\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}[f(\theta_{i}^{*})]^{2}\Delta\theta = \int_{a}^{b}\frac{1}{2}[f(\theta)]^{2}d\theta$
극방정식이 $r = f(\theta)$, $a\le \theta \le b$인 곡선의 길이는 잘 정리해보면
$L = \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{r^{2} + (\frac{dr}{d\theta})^{2}}d\theta$임을 알 수 있다.
원뿔곡선
포물선, 타원, 쌍곡선은 원뿔을 평면과 다양한 각도에서 교차시켰을 때 만들어지므로 원뿔곡선(conic sections 또는 conics)이라 부른다.
포물선(parabola)
포물선의 정의는 평면에서 한 정점 $F$(초점(focus))와 한 정직선(준선(directrix))으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합이다.
이 정의를 통해 포물선의 방정식을 유도할 수 있다.
초점이 $(0, p)$이고 준선이 $y = -p$인 포물선의 방정식 : $x^{2} = 4py$
포물선 위의 초점과 준선 사이의 중간점을 꼭짓점이라 하고, 초점을 지나고 준선에 수직인 선을 포물선의 축이라 한다.
타원(ellipse)
타원의 정의는 평면에서 두 정점 $F_{1}$과 $F_{2}$로부터 거리의 합이 상수인 점들의 집합이다.
이 두 정점을 초점이라 하며 역시 정의를 통해 타원의 방정식을 유도할 수 있다.
(1) 타원 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $a\ge b > 0$은 초점 $(\pm c, 0)$과 꼭짓점 $(\pm a, 0)$을 갖는다. 여기서 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$이다.
(2) 타원 $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ $a\ge b > 0$은 초점 $(0, \pm c)$과 꼭짓점 $(0, \pm a)$을 갖는다. 여기서 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$이다.
(1)에서 점 $(a, 0)$과 $(-a, 0)$을 타원의 꼭짓점이라 하며 두 꼭짓점을 잇는 선분을 장축이라 한다. 반대로 $(0, b)$와 $(0, -b)$를 잇는 선분을 단축이라 한다.
쌍곡선(hyperbola)
쌍곡선의 정의는 평면에서 두 정점 $F_{1}$과 $F_{2}$(초점)로부터 거리의 차이가 일정한 점들의 집합이다.
(1) 쌍곡선 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$은 초점 $(\pm c, 0)$, 꼭짓점 $(\pm a, 0)$, 그리고 점근선 $y = \pm (b/a)x$를 갖는다. 여기서 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$이다.
(2) 쌍곡선 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$은 초점 $(0, \pm c)$, 꼭짓점 $(0, \pm a)$, 그리고 점근선 $y = \pm (a/b)x$를 갖는다. 여기서 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$이다.
쌍곡선은 초점 위치에 따라 그래프의 개형이 달라진다.
극좌표에서 원뿔곡선
세 원뿔곡선의 유형을 모두 초점과 준선으로 더욱 단일화해보자.
만약 초점을 원점에 두면 원뿔곡선은 단순한 극방정식으로 표현된다.
행성, 위성, 혜성의 운동을 설명할 때 편리하다.
평면 위에서 $F$를 한 정점(초점)이라 하고, $l$을 한 직선(준선)이라 하자. 그리고 $e$를 고정된 양수라 하자.($e$를 이심률(eccentricity)이라 한다.) 평면 위에서 다음의 조건
$\frac{|PF|}{|Pl|} = e$ ($F$에서 $l$까지의 거리의 비가 상수 $e$이다)
을 만족하는 모든 점 $P$의 집합은 원뿔곡선이다.
원뿔곡선은
(a) 만약 $e < 1$이면, 타원
(b) 만약 $e = 1$이면, 포물선
(c) 만약 $e > 1$이면, 쌍곡선이다.
쉽게 말해, 극방정식으로 표현된 원뿔곡선이 직교좌표계로 표현될 때 이심률에 따라 형태가 결정된다는 것이다.
극방정식의 모양
$r = \displaystyle\frac{ed}{1 \pm e\cos\theta}$ 또는 $r = \displaystyle\frac{ed}{1 \pm e\sin\theta}$
은 이심률이 $e$인 원뿔곡선을 나타낸다. 원뿔곡선은 만약 $e < 1$이면 타원, $e = 1$이면 포물선, $e > 1$이면 쌍곡선이다.
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