각각의 미분법칙에는 그것에 대응하는 적분법칙이 있다.
예를 들어, 적분에서의 치환법은 미분에서의 연쇄법칙에 대응한다.
부분적분(integration by parts)
곱 법칙에 의하면 $f$와 $g$가 미분가능한 함수일 때
$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$였다.
이것을 그대로 적분 형태로 바꿔주기만 하면 된다. 그러면 부분적분 공식이 된다.
$\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int g(x)f'(x)dx$
이걸 좀 더 기억하기 쉬운 형태로 바꾸면 $\int udv = uv - \int vdu$이다.
부분적분을 보면 뒤에 적분형태가 남는다.
즉, 부분적분을 이용하는 주된 목적은 원래의 적분보다 더 간단한 적분을 얻는 데 있다.
그러므로 미분했을 때 좀 더 간단한 함수가 되도록 함수를 선택해줘야 한다.
일반적으로 '로다삼지'순으로 기억하며 로그함수, 다항함수를 미분하고 삼각함수, 지수함수는 적분한다.
거듭제곱이 많이 되어 있는 형태의 적분은 부분적분을 통해 n이 n-1과 n-2로 줄어들기 때문에 점화공식(reduction function)이 되는데, 이를 계속 반복해서 사용하면 궁극적으로 적분형태 없이 표현할 수 있게 된다.
부분적분 공식과 미분적분학의 기본 정리 2를 결합하면 정적분을 부분적분법으로 계산할 수도 있다.
삼각함수의 적분
삼각함수의 적분을 처음 만나보면 감도 잘 안 잡히고, 답답하다.
그래도 몇 가지 적분에 대해서 푸는 방법이 있다.
$\int \sin^{m}x\cos^{n}xdx$의 적분법 (단, 정수 $m\ge 0, n\ge 0$)
(a) 코사인의 거듭제곱이 홀수인 경우(n = 2k+1)
코사인 인수 하나를 분리하고 $\cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x$를 이용하여 나머지 부분을 사인함수로 바꾼다.
$\int \sin^{m}x\cos^{2k+1}x dx = \int \sin^{m}x(\cos^{2}x)^{k}\cos x dx$
$= \int \sin^{m}x(1 - \sin^{2}x)^{k}\cos x dx$
이후 $u = \sin x$로 치환한다.
(b) 사인의 거듭제곱이 홀수인 경우(m = 2k+1)
사인 인수 하나를 분리하고 $\sin^{2}x = 1 - \cos^{2}x$를 이용하여 나머지 부분을 코사인 함수로 바꾼다.
$\int \sin^{2k+1}x\cos^{x}x dx = \int (\sin^{2}x)^{k}\cos^{n}x\sin x dx$
$= \int (1-\cos^{2}x)^{k}\cos^{n}x\sin x dx$
이후 $u = \cos x$로 치환한다.
[사인과 코사인 양쪽의 거듭제곱이 모두 홀수인 경우는 (a)와 (b), 어느 것이든 이용할 수 있다.]
(c) 사인과 코사인의 거듭제곱이 모두 짝수인 경우 반각등식을 이용한다.
$\sin^{2}x = \frac{1}{2}(1 - \cos 2x)$, $\cos^{2}x = \frac{1}{2}(1 + \cos 2x)$
$\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$
사인, 코사인과 비슷한 방법으로 탄젠트, 시컨트 형태의 적분을 계산하는 방법도 있다.
$\int \tan^{m}x \sec^{n}x dx$의 적분법 (단, 정수 $m\ge 0, n\ge 0$)
(a) 시컨트의 거듭제곱이 짝수인 경우($n = 2k, k\ge 2$)
$\sec^{2}x$ 인수를 분리하고 항등식 $\sec^{2}x = 1 + \tan^{2}x$를 이용하여 나머지 부분을 탄젠트 함수로 나타낸다.
$\int \tan^{m}x \sec^{2k}xdx = \int \tan^{m}x(\sec^{2}x)^{k-1}\sec^{2}xdx$
$=\int \tan^{m}x(1 + \tan^{2}x)^{k-1}\sec^{2}xdx$
이후 $u = \tan x$로 치환한다.
(b) 탄젠트함수의 거듭제곱이 홀수인 경우(m = 2k+1)
$\sec x\tan x$ 인수를 분리하고 $\tan^{2}x = \sec^{2}x - 1$을 이용하여 나머지 부분을 시컨트함수로 나타낸다.
$\int \tan^{2k+1}x\sec^{n}xdx = \int (\tan^{2}x)^{k}\sec^{n-1}x \sec x \tan x dx$
$=\int (\sec^{2}x - 1)^{k}\sec^{n-1}x \sec x \tan x dx$
이후 $u = \sec x$로 치환한다.
이외의 경우에 대해서는 뚜렷한 지침이 없다.
여러 가지 항등식이나 부분적분이 사용될 수도 있고, 경우에 따라서는 약간의 기교가 필요하기도 하다.
다음과 같은 일련의 삼각함수 항등식을 활용할 수도 있다.
(a) $\int \sin mx \cos nx dx$, (b) $\int \sin mx \sin nx dx$, 또는 (c) $\int \cos mx \cos nx dx$를 구하려면 각각에 대응하는 다음의 항등식을 이용할 수 있다.
(a) $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin (A - B) + \sin (A + B)]$
(b) $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos (A - B) - \cos (A + B)]$
(c) $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos (A - B) + \cos (A + B)]$
삼각 치환
원이나 타원의 넓이를 구하려고 하면 $\int \sqrt{a^{2} - x^{2}} dx (a>0)$와 같은 형태의 적분이 나타나게 된다.
원의 경우 각을 안다면 그래프를 통해 원의 넓이 공식을 이용해서 쉽게 구할 수는 있겠지만 그래프로 시각화하기 어려워 도형을 파악할 수 없는 경우도 있을 것이다.
만약 $x = a\sin \theta$로 치환하여 변수를 바꾼다면 항등식 $1 - \sin^{2}\theta = \cos^{2}\theta$를 써서 근호를 없앨 수 있다.
일반적으로, 치환법칙을 역으로 사용하는 $x = g(t)$와 같은 형태의 치환을 할 수도 있다.
$\int f(x) dx = \int f(g(t))g'(t) dt$ 형태가 되며 이러한 형태의 치환을 역치환(inverse substitution)이라고 한다.
단, 역치환하는 함수가 역함수를 갖는 함수(일대일함수)여야 한다.
이러한 역치환 중 삼각함수를 이용한 치환을 특별히 삼각치환이라 부르며 이때 $\theta$의 구간을 제한하여 일대일함수로 만든다.
| 식 | 치환 | 항등식 |
| $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ | $x = a\sin\theta$, $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ | $1 - \sin^{2}\theta = \cos^{2}\theta$ |
| $\sqrt{a^{2} + x^{2}}$ | $x = a\tan\theta$, $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ | $1 + \tan^{2}\theta = \sec^{2}\theta$ |
| $\sqrt{x^{2} - a^{2}}$ | $x = a\sec\theta$, $0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ 또는 $\pi \le \theta < \frac{3\pi}{2}$ | $\sec^{2}\theta - 1 = \tan^{2}\theta$ |
참고로 쌍곡항등식 모양이 보이면 쌍곡선 치환을 사용할 수 있다.
부분분수에 의한 유리함수의 적분
분자의 차수가 분모의 차수보다 크거나 같다면 다항식의 나눗셈을 통해 간단히 할 수 있다.
여기서는 반대의 경우인 분모의 차수가 더 큰 경우를 알아보자.
우선 분모 $Q(x)$를 최대한 가능한 데까지 인수분해한다.
알려진 바에 의하면, 임의의 다항식 $Q(x)$는 일차인자($ax + b$의 형태)나 기약 이차인자($ax^{2} + bx + c$, $b^{2} - 4ac < 0$의 형태)의 곱으로 인수분해된다.
이후 유리함수를 $\frac{A}{(ax+b)^{i}}$ 또는 $\frac{Ax+B}{(ax^{2}+bx+c)^{i}}$ 형태의 부분분수(partial fractions)들의 합으로 나타낸다. 이렇게 하면 4가지 경우로 분류할 수 있다.
1. 분모 $Q(x)$가 서로 다른 일차인자들의 곱일 때
중복되는 인자가 없다면 쉽게 부분분수로 분해할 수 있고, 전부 로그함수로 적분할 수 있다.
ⓐ $\frac{R(x)}{Q(x)} = \frac{A_{1}}{a_{1}x+b_{1}} + \frac{A_{2}}{a_{2}x+b_{2}} + \cdots + \frac{A_{k}}{a_{k}x+b_{k}}$
2. $Q(x)$가 중복을 허용한 일차식들의 곱일 때
일차식 $(a_{1}x+b_{1})$이 $r$번 중복되는 상황, 즉 $Q(x)$의 인수분해에 $(a_{1}x+b_{1})^{r}$이 포함되어 있는 경우이다. 이 경우 식 ⓐ의 $A_{1}/(a_{1}x+b_{1})$항을 다음 식으로 대치한다.
$\frac{A_1}{a_{1}x+b_{1}} + \frac{A_2}{(a_{1}x+b_{1})^{2}} + \cdots + \frac{A_r}{(a_{1}x+b_{1})^{r}}$
3. $Q(x)$는 반복되지 않는 기약 이차인수를 포함할 때
만일 $Q(x)$가 인수 $ax^{2}+bx+c$를 가지고 $b^{2}-4ac<0$이면
유리식 $R(x)/Q(x)$는 $\frac{Ax+B}{ax^{2}+bx+c}$ 항도 갖게 된다.
이 경우 분모를 완전제곱식으로 고친 후 $\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$를 이용하면 쉽게 적분할 수 있다.
4. $Q(x)$가 중복된 이차 기약다항식을 포함할 때
만일 $Q(x)$가 인수 $(ax^{2}+bx+c)^{r}$를 가지고 $b^{2}-4ac<0$이면 유리식 $R(x)/Q(x)$에 $\frac{A_{1}x+B_{1}}{ax^{2}+bx+c} + \frac{A_{2}x+B_{2}}{(ax^{2}+bx+c)^{2}} + \cdots + \frac{A_{r}x+B_{r}}{(ax^{2}+bx+c)^{r}}$이 나타난다.
이후 3의 경우처럼 분모의 이차식을 완전제곱식으로 고친 후, 치환하는 방법으로 적분할 수 있다.
유리함수를 적분할 때, 떄로는 부분분수로 분해하지 않는 것이 더 나은 경우도 있다.(바로 적분이 가능한 경우)
유리화 치환법
어떤 무리함수들은 적절히 변수치환을 통해 유리함수로 바꿀 수 있다.
특히 피적분함수에 $\sqrt[n]{g(x)}$의 형태가 나타날 때는 $u=\sqrt[n]{g(x)}$로 치환하는 것이 효과적이다.
지금까지 여러가지 적분법들을 알아봤다. 한번 깔끔하게 정리해보자.
1. 가능한 한 피적분함수를 간단히 한다. (대수적 계산이나 삼각함수 항등식을 사용)
2. 명확한 치환대상을 찾는다. (치환적분법)
이렇게 했는데도 적분이 풀리지 않는다면?
3. 피적분함수를 형태에 따라 분류한다.
(a) 삼각함수 (삼각함수의 적분 방법을 사용)
(b) 유리함수 (부분분수 분해법 사용)
(c) 부분적분법 (다항식과 초월함수의 곱으로 나타나는 경우)
(d) 무리함수 (적절하게 삼각치환을 하거나 유리화 치환을 사용한다)
기본적으로 적분은 '치환적분법'과 '부분적분법'의 두 종류 밖에 없다.
하지만 우리는 '모든' 연속함수를 적분할 수는 없다.
적분의 답으로 우리에게 친숙한 함수들의 결합으로 나타낼 수 없는 경우가 있다.
우리가 쉽게 다루는 함수들은 모두 초등함수(elementary functions)라고 불리는 것들이다.
초등함수란 다항식, 유리함수, 거듭제곱함수, 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 역삼각함수, 쌍곡선함수, 역쌍곡선함수 등과 이러한 함수들을 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 함수합성의 다섯 가지 연산으로 결합해서 얻을 수 있는 모든 형태의 함수를 말한다.
함수 $f$가 초등함수이면 $f'$도 초등함수이지만 반드시 $f$의 원시함수가 초등함수인 것은 아니다.
따라서 이러한 경우 특별히 무한급수로 표현하거나 따로 근사식으로 표현하는 방법이 있다.
이상적분
함수의 정의구역이 무한구간인 경우, 혹은 $f$의 함숫값이 무한대가 되는 경우 적분할 수 있을까?
이러한 형태의 적분을 이상적분(improper integral)이라고 한다. (확률분포에서 주로 사용한다)
형태 1. 무한구간에서 이상적분의 정의
(a) 모든 $t\ge a$에 대하여 $\int_{a}^{t}f(x)dx$가 존재하고, 다음의 극한이(유한한 실수로서) 존재할 때 $\displaystyle\int_{a}^{\infty}f(x)dx = \displaystyle\lim_{t→\infty}\int_{a}^{t}f(x)dx$로 정의한다.
(b) 모든 $t\le b$에 대하여 $\int_{t}^{b}f(x)dx$가 존재하고, 다음의 극한이(유한한 실수로서) 존재할 때 $\displaystyle\int_{-\infty}^{b}f(x)dx = \displaystyle\lim_{t→-\infty}\int_{t}^{b}f(x)dx$로 정의한다.
이상에서 극한값이 존재하는 경우, 이상적분 $\int_{a}^{\infty}f(x)dx$나 $\int_{-\infty}^{b}f(x)dx$는 수렴한다(convergent)고 하고, 극한값이 존재하지 않으면 발산한다(divergent)고 말한다.
(c) 만일 $\int_{a}^{\infty}f(x)dx$와 $\int_{-\infty}^{a}f(x)dx$가 둘 다 수렴할 경우
$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = \displaystyle\int_{-\infty}^{a}f(x)dx + \displaystyle\int_{a}^{\infty}f(x)dx$와 같이 정의한다.
(c)에서 $a$는 어떤 실수를 사용하더라도 상관이 없다.
참고로 이상적분 $\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{p}}dx$는 $p>1$일 때 수렴하고, $p\le 1$일 때 발산한다.
형태 2. 불연속함수의 적분 (함숫값이 무한대가 되는)
(a) $f$가 구간 $[a, b)$에서 연속이고 $b$에서 불연속일 경우, 아래 식의 우변의 극한이 유한한 실수값으로 존재한다면 $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx = \displaystyle\lim_{t→b^{-}}\int_{a}^{t}f(x)dx$로 정의한다.
(b) $f$가 구간 $(a, b]$에서 연속이고 $a$에서 불연속일 경우, 아래 식의 우변의 극한이 유한한 실수값으로 존재한다면 $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx = \displaystyle\lim_{t→a^{+}}\int_{t}^{b}f(x)dx$로 정의한다.
위에서 극한값이 존재할 때 이상적분 $\int_{a}^{b}f(x)dx$가 수렴한다고 하고, 극한값이 존재하지 않을 때 발산한다고 한다.
(c) 함수 $f$가 $c$ $(a<c<b)$에서 불연속일 때, 두 이상적분 $\int_{a}^{c}f(x)dx$와 $\int_{c}^{b}f(x)dx$가 모두 수렴한다면 $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx = \displaystyle\int_{a}^{c}f(x)dx + \displaystyle\int_{c}^{b}f(x)dx$로 정의한다.
즉, 수직 점근선 부근에서 적분이 수렴한다면 적분값을 구할 수 있다.
이상적분에서 주의해야 할 것은 반드시 적분의 '극한'을 통해서 답을 구해야 한다는 것이다.
때로는 이상적분의 정확한 값을 구하는 것이 불가능할 때가 있다. 하지만 수렴하는지 발산하는지를 아는 것은 매우 중요하다. 다음 정리는 이러한 경우 유용하게 쓸 수 있다.
비교 정리(Comparison Theorem)
$f$와 $g$가 $x\ge a$에서 연속이고 $f(x)\ge g(x)\ge 0$를 만족한다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
(a) $\int_{a}^{\infty}f(x)dx$가 수렴하면 $\int_{a}^{\infty}g(x)dx$도 수렴한다.
(b) $\int_{a}^{\infty}g(x)dx$가 발산하면 $\int_{a}^{\infty}f(x)dx$도 발산한다.