구분 구적법
우리는 도형의 넓이를 쉽게 구할 수 있다. (직사각형이나 삼각형 등)
도형의 변이 많아질수록 우리는 흔히, 다루기 쉬운 도형들로 쪼개서 계산한다.
이러한 생각이 확장되어 곡선에 대해서도 정확한 넓이를 구하고자 했다.
이것이 구분 구적법의 시초이다.
연속함수에 대해 그래프와 x축 사이 영역의 넓이를 구해보자.
직사각형 넓이의 합으로 구할 것이므로 우선 구간을 n등분한다. ($\Delta x = \frac{b-a}{n}$)
그리고 등분된 부분 구간에 대해 임의의 점 $x_{i}^{*}$에 대한 $f$값을 높이로 설정할 수 있다.
이러한 x값들을 표본점(sample point)이라고 부른다.
표본점을 어떻게 설정하느냐에 따라 $f$가 최솟값이나 최댓값을 가질 수 있다.
보통 왼쪽 끝점에 의해서는 하한합이 생기고 오른쪽 끝점에서는 상한합이 생긴다.
$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_{i}^{*})\Delta x$, 이 형태를 리만합(Riemann sum)이라 부른다.
정적분
상한합이나 하한합이나 극한을 취하면($\Delta x →0$)
표본점을 어떻게 설정하든 모두 같은 수로 수렴한다. (조임정리)
따라서 리만합에 의하여 어느 정도 오차 범위 내에서 근삿값으로 나타낼 수 있다.
보통 근삿값을 위해서 표본점을 부분 구간의 중점으로 선택하고(중점 법칙)
극한 계산의 편리성을 위해서는 부분 구간의 오른쪽 끝점으로 선택한다.$(x_{i}=a+i\Delta x)$
이러한 리만합(부분합)의 극한 형태를 따로 정적분이라고 정의하며 다음과 같다.
$a$에서 $b$까지의 $f$의 정적분(definite integral)은
$\int_{a}^{b}f(x)dx = \displaystyle\lim_{x→\infty} \displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\Delta x$이다.
단, 이 극한이 존재하고 표본점을 어떻게 잡더라도 그 값들이 동일하다고 가정한다.
이 극한이 존재할 때 $f$는 $[a, b]$에서 적분가능(integrable)이라 한다.
$a$는 하한(lower limit), $b$는 상한(upper limit)이라 한다.
정적분은 결국 극한값이므로 하나의 수이고, 이는 실제(순) 넓이(net area)로서 해석될 수 있다.
단, 함숫값을 사용하기에 부호를 가진 넓이가 되며 함수의 그래프가 x축보다 아래에 있다면 음(-)의 넓이를 가지게 된다. 그러므로 둘러싸인 넓이를 구하려면 인테그랄 내부의 함수에 절댓값을 씌워야 한다. 참고로, 부분 구간이 등간격이 아니어도 모두 0으로 접근한다면 동일한 폭이 아니어도 된다.
미분가능성처럼 적분가능성을 미리 판단해야 한다. 모든 함수가 적분가능한 건 아니기 때문이다.
쉽게 생각하자면, 함수가 구간에서 연속이거나 유한개의 도약 불연속점을 가지면 구간에서 적분가능하다.
정적분 역시 몇 가지 성질이 있다.
(기본적으로 극한의 일종이므로 극한과 같이 사칙연산에 대해 인테그랄을 분배할 수 있다.)
정적분을 정의할 때 암묵적으로 $a<b$라고 가정했다. 따라서 a와 b가 바뀌면 $\Delta x$는 $(b-a)/n$에서 $(a-b)/n$로 바뀌기 때문에 $\int_{b}^{a}f(x)dx = -\int_{a}^{b}f(x)dx$가 된다.
만일 a=b이면 $\Delta x=0$이므로 정적분 값은 0이 된다.
이 성질을 응용하면 함수의 적분을 적재적소에 결합하거나 분해할 수 있다.
적분의 대소 비교 성질
1. 만일 $a\le x \le b$인 $x$에 대하여 $f(x)\ge 0$이면 $\int_{a}^{b}f(x)dx\ge 0$이다.
2. 만일 $a\le x \le b$인 $x$에 대하여 $f(x)\ge g(x)$이면 $\int_{a}^{b}f(x)dx\ge \int_{a}^{b}g(x)dx$이다.
3. 만일 $a\le x \le b$인 $x$에 대하여 $m \le f(x) \le M$이면
$m(b-a) \le \int_{a}^{b}f(x)dx \le M(b-a)$ 이다.
잠시 정적분에 대해 알아봤다.
아직 정적분을 계산하기 위해서는 리만합의 극한으로 계산하는 방법 밖에 모른다.
따라서 시그마($\sum$)와 관련된 공식과 규칙들을 어느정도 알고 있으면 편하다.
$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2}$ $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^{3} = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$
미분적분학의 기본 정리
뉴턴과 라이프니츠는 합의 극한으로 넓이와 적분을 계산하지 않고, 매우 쉽게 넓이와 적분을 계산할 수 있음을 발견했다.
$f$는 구간 $[a, b]$에서 연속함수이고, $x$는 $a$와 $b$ 사이에서 변한다고 할 때,
$g(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt$라고 하자.
여기서 $g$는 적분에서 상한의 변수인 $x$에만 좌우된다. 따라서 만일 $x$가 고정된 수라면 적분값은 하나의 수이지만, 만약 변수라면 $g(x)$는 함수로 정의될 수 있다.
$f(t)$에 간단한 함수를 적용해보면 $g' = f$이라 추측할 수 있고, 실제로 도함수의 정의를 이용해 확인해보면 성립한다는 것을 알 수 있다. 이게 미분적분학의 첫 번째 기본 정리이다.
FTC1(Fundamental Theorem of Calculus)
만일 $f$가 구간 $[a, b]$에서 연속이면, $g(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt$ $\{ x | a\le x \le b\}$로
정의된 함수 $g$는 구간 $[a, b]$에서 연속이고 구간 $(a, b)$에서 미분가능하며, $g'(x) = f(x)$이다.
이 기본정리 덕분에 $g(x)$같은 형태로 함수를 정의할 수 있게 해준다.
미분적분학의 기본 정리 1로부터 쉽게 얻어지는 미분적분학의 기본 정리 2는 적분 계산을 훨씬 편리하게 해준다.
FTC2(Fundamental Theorem of Calculus)
만일 $f$가 구간 $[a, b]$에서 연속함수이면 $\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)$이다.
여기서 $F$는 $f$의 임의의 원시함수이다. 즉 $F' = f$가 되는 함수이다.
이 정리 덕분에 부분합의 극한으로 구했던 끔찍했던 적분이 $a$와 $b$에서 $F(x)$의 값만 알면 구할 수 있게 되었다.
이 두 정리를 살펴보면 미분과 적분이 서로의 역과정이라는 것을 알 수 있다.
부정적분
두 기본 정리는 원시함수와 정적분 사이의 관계를 세웠다.
여기서 원시함수를 쉽게 다룰 수 있는 편리한 표기법이 필요했고, 기본 정리에 의해 주어진 관계를 토대로 $\int f(x)dx$를 $f$의 원시함수로 사용하고 부정적분(indefinite integral)이라 부른다.
정적분은 하나의 수이고 부정적분은 하나의 함수(또는 함수족)이다.
일반적인 부정적분에 대한 공식은 어떤 구간에서만 성립하는 것으로 생각하는 것이 관례이다.(구간마다 붙는 상수가 다를 수 있다)
미분적분학의 기본 정리2(FTC2)를 원시함수를 이용해 다시 써보면 다음과 같다.
$\int_{a}^{b} F'(x)dx = F(b) - F(a)$
이 식은 변화율의 적분은 순변화량이라는 의미를 지니며 순변화 정리(Net Change Theorem)라고 부른다. 이 원리는 자연과학과 사회과학에 있어서의 모든 변화율에 적용할 수 있고 범용성이 크다.
치환법
기본 정리에 의해 원시함수를 구할 수 있다는 것은 중요하다.
그러나 모든 함수에 대한 미분과 적분을 외울 수도 없기 때문에 새로운 전략이 필요하다.
어려운 것은 쉬운 것의 집합. 형태를 변화시켜 풀기 쉽게 만들어야 한다.
새로운 변수를 도입해 형태를 우리가 이미 알고 있는 형태(쉬운 형태)로 바꾸는 것이다.
쉽게 말하자면 연쇄법칙의 역순이라고 생각할 수 있다.
치환 법칙(Substitution Rule)
만일 $u = g(x)$가 구간 $I$를 치역으로 갖는 미분가능한 함수이고 $f$가 $I$ 위에서 연속이면 다음과 같다.
$\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du$
치환 법칙을 통해 적분기호 다음의 $dx$와 $du$를 미분으로 간주하여 다룰 수 있다.
치환법칙은 상대적으로 복잡한 적분을 간단한 적분으로 바꾸고자 하는 것이다.
치환법칙을 사용하는 데 중요한 문제는 적당히 치환하는 것이다.
또, 정적분의 경우 치환을 통해 적분 구간 또한 변한다는 것을 명심해야 한다.
정적분에 대한 치환 법칙
만일 $g'$이 $[a, b]$에서 연속이고 $f$가 $u=g(x)$의 치역에서 연속이면,
$\int_{a}^{b} f(g(x))g'(x)dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)du$이다.
정적분에 대한 치환법칙을 사용하면 대칭성을 갖는 함수들의 적분 계산을 간단히 할 수 있다.
대칭함수의 적분 $f$가 구간 $[-a, a]$에서 연속이라고 가정하자.
(a) 만일 $f$가 우함수$[f(-x) = f(x)]$이면, $\int_{-a}^{a} f(x)dx = 2\int_{0}^{a} f(x)dx$이다.
(b) 만일 $f$가 기함수$[f(-x) = -f(x)]$이면, $\int_{-a}^{a} f(x)dx = 0$이다.
정적분의 근삿값
정적분을 정확하게 계산할 수 없을 때가 있다.
하나는 원시함수를 찾는 작업이 아주 어렵거나 불가능할 때이고 하나는 적분하려는 함수를 나타내는 식을 찾기가 불가능한 경우이다.
이러한 경우, 정적분의 근삿값(리만합의 극한)을 이용해 구해야 한다.
중점 법칙(Midpoint Rule)
$\Delta x = (b - a)/n$이고, $\bar{x_{i}} = \frac{1}{2}(x_{i-1}+x_{i})$, $[x_{i-1}, x_{i}]$의 중점으로 선택하면 $\int_{a}^{b}f(x)dx \approx M_{n} = \Delta x [f(\bar{x_{1}}) + f(\bar{x_{2}}) + \cdots + f(\bar{x_{n}})]$.
사다리꼴 공식(Trapezoidal Rule)
$\Delta x = (b - a)/n$이고, $x_{i} = a + i\Delta x$이면
$\int_{a}^{b}f(x)dx \approx T_{n} = \frac{\Delta x}{2}[f(x_{0}) + 2f(x_{1}) + 2f(x_{2}) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + f(x_{n})]$
사다리꼴 공식은 이전과 달리 직사각형이 아닌 사다리꼴 형태로, 곡선과 더욱 밀착된 형태를 갖는다.
이 두 공식의 오차는 다음과 같다.
오차 한계
$a\le x \le b$에 대하여 $|f''(x)|\le K$라고 하자.
사다리꼴 꽁식을 적용하여 얻은 오차를 $E_{T}$, 중점 법칙을 적용하여 얻은 오차를 $E_{M}$
이라고 하면 $|E_{T}|\le \frac{K(b - a)^{3}}{12n^{2}}$이고 $|E_{M}|\le \frac{K(b - a)^{3}}{24n^{2}}$이다.
적분의 근삿값을 얻는 방법 중 함수의 곡선을 근사하기 위해 직선이 아닌 포물선을 사용하는 방법도 있다. 등간격으로 나눈 부분구간마다 곡선을 근사하는 포물선을 만들어 합하는 방식으로, 어떤 연속함수에 대하여도 적용할 수 있는 방법이다.
심프슨 공식(Simpson's Rule)
$n$이 짝수이고 $\Delta x = (b - a)/n$이면 다음을 얻는다.
$\int_{a}^{b}f(x)dx \approx S_{n} = \frac{\Delta x}{3}[f(x_{0}) + 4f(x_{1}) + 2f(x_{2}) + 4f(x_{3}) + \cdots$
$+ 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_{n})]$
심프슨 공식의 각 계수는 처음 두 개가 (1, 4)이고 마지막은 1이며 그 사이는 (2, 4)가 반복된다.
심프슨 공식을 이용한 근삿값은 사실상 사다리꼴 공식과 중점법칙을 이용한 근삿값들의 가중치(1:2) 평균값이다.
심프슨 공식의 오차는 다음과 같다.
심프슨 공식에 대한 오차 한계
$a\le x \le b$일 때 $|f^{(4)}(x)|\le K$라고 하자. 심프슨 공식의 오차를 $E_{S}$라고 하면, 오차 한계는 $|E_{S}| \le \frac{K(b - a)^{5}}{180n^{4}}$이다.