도함수의 정의를 이용하면 무엇이든 도함수를 구할 수 있다.
일반적인 형태는 물론, 상수배, 합, 차의 경우 극한에서처럼 미분가능하다면 $\frac{d}{dx}$를 분배할 수 있다.
곱과 몫의 경우 따로 법칙이 있으며 증분과 라이프니츠 표기법을 이용하여 증명된다.
물론 미분가능하다는 조건이 필요하다.
곱 법칙 : $\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f(x)\frac{d}{dx}[g(x)] + g(x)\frac{d}{dx}[f(x)]$
몫 법칙 : $\frac{d}{dx}[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{g(x)\frac{d}{dx}[f(x)] - f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x)]^2}$
지수함수의 경우 도함수를 구해보면 $f'(x)=f'(0)a^x$가 일반적으로 나온다.
즉, 미분계수에 자기자신을 곱한 꼴이다.
지수함수의 도함수를 구해보는 과정에서 $f'(0)=1$인 특수한 형태의 밑(수)를 네이피어 수(자연상수)라고 부른다.
정의 : $e$는 $\displaystyle\lim_{h→0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$을 만족하는 수이다.
그렇다면 자연지수함수의 도함수는 늘 자기 자신이 된다.
이러한 계산적 효율성 때문인지, 자연상수는 정말 많이 이용된다.
삼각함수의 경우 도함수의 정의를 따라 도함수를 구해보면 처음보는 형태의 극한이 나온다.
처음에는 덧셈정리를 이용해 간단히 해도 이후 다음 두 형태의 극한이 나온다.
1. $\displaystyle\lim_{\theta → 0} \frac{\sin\theta} {\theta} = 1$
2. $\displaystyle\lim_{\theta → 0} \frac{\cos\theta - 1}{\theta} = 0$
2번째 식은 사실 1번째 식을 이용하고 $\frac{0}{0}$이 안되도록 조작해보면 바로 나온다.
1번째 식은 기하학적으로 증명이 가능하다.
이 삼각형에 대해 $|BC| < |AB| < 호 AB$인 것은 자명하다.
그리고 $\theta = 호 AB < |AE| + |EB| < |AE| + |ED|$이고, $|AD| = |OA|\tan\theta$이다.
이 두 식을 $\theta$에 관해 정리하면 $\cos\theta < \frac{\sin\theta}{\theta} < 1$이 성립하고
조임정리에 의해 $\theta$가 0+로 갈 때 모두 1로 수렴한다는 것을 알 수 있다.
그리고 (sin$\theta$)/$\theta$가 우함수이므로 0에서 좌극한과 우극한이 같아야 하므로 1번 식이 증명된다.
연쇄법칙
연쇄법칙(chain rule)은 합성함수의 미분법이라고 생각해도 된다.
복잡한 계산일수록 뉴턴식 표현보다 라이프니츠 표현을 주로 사용한다.
$f$와 $g$가 모두 미분가능하고 $F=f \circ g$는 $F(x) = f(g(x))$로 정의된 합성함수라면,
$F$는 미분가능하고 $F'$은 곱 $F'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$이다.
이를 라이프니츠 기호로 나타내면,
$y=f(u)$와 $u=g(x)$가 모두 미분가능한 함수일 때 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$이다.
연쇄법칙의 증명은 증분을 이용해서 진행된다.
연쇄법칙은 그 자체로도 쓸모가 있지만, 음함수를 미분할 때에도 효과를 발휘한다.
일반적으로 음함수와 달리 양함수는 $y=f(x)$와 같이 하나의 변수가 다른 한 변수로 분명하게 표현된다.
이러한 식의 경우 $x$의 함수로서 $y$에 관해 풀기는 쉽지 않다.
근데 도함수를 구하기 위해서는 굳이 $y$를 $x$에 관하여 풀어야 할 필요는 없다.
$x$에 관해 미분하고, 연쇄법칙을 적용하면 편하게 $dy/dx$를 구할 수 있다.
일반적으로 상대적 비율 문제에서 음함수 미분법과 연쇄법칙이 쓰인다.
어떠한 증가율이 주어졌을 때, 해당 상황에서 다른 증가율을 구하는 문제이다.
마치 매개변수를 찾아서 연쇄법칙으로 증가율끼리 연결하는 느낌이다.
음함수 미분법은 다양한 함수의 도함수를 구하는 데에도 도움을 준다.
역삼각함수의 경우 역함수를 음함수 형태로 만들고 미분하면 도함수를 쉽게 구할 수 있다.
로그함수도 지수함수의 역함수라 생각한다면 음함수 미분법을 이용해 도함수를 구할 수 있다.
이 과정 중에서 $e$에 대한 식이 하나 도출된다.
$f(x)=\ln x$에 대해 $f'(1) = \displaystyle\lim_{x→0} \ln (1+x)^{1/x} = 1$이고
지수함수의 연속성에 의하여 다음과 같이 정리할 수 있다.
$e = \displaystyle\lim_{x→0} e^{\ln (1+x)^{1/x}} = \displaystyle\lim_{x→0} (1+x)^{1/x} = \displaystyle\lim_{n→\infty} (1+\frac{1}{n})^{n}$
이 식 덕분에 $e \approx 2.7182818...$임을 설명할 수 있다.
잠시 사이드로 함수 하나를 간략히 소개하려 한다.
지수함수 $e^x$와 $e^{-x}$을 적당히 결합하여 얻은 함수들은 수학이나 응용분야에서 자주 이용된다.
대표적인 예로 쌍곡선함수(hyperbolic function)가 있다.
$\sinh x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$ $\cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}$
$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$
언뜻보면 삼각함수와 매우 유사하다. 실제로 다른 연산들도 삼각함수와 비슷한 형태를 띈다.
다만 삼각함수에서 $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$이 원을 형상화하듯,
위의 3번째 식은 쌍곡선을 형상화한다. 따라서 이 함수들을 쌍곡선함수라 칭한다.
단, 삼각함수와 달리 정의역은 라디안 단위가 아닌 실수 전체이다.
이 함수들의 도함수, 역함수의 도함수도 연쇄법칙과 음함수 미분법으로 구할 수 있다.
이러한 변화율에 관한 개념은 자연과학뿐만 아니라 사회과학에서도 해석을 위해 잘 쓰인다.
또, 많은 자연현상에서 어떤 양은 다음 식과 같이 그들의 크기에 비례하는 비율로 증가하거나 감소한다.
($C, k$는 상수) $\frac{dy}{dt} = ky$
$y(t) = Ce^{kt}$일 때, $y'(t) = C(ke^{kt}) = k(Ce^{kt}) = ky(t)$
따라서 $\frac{dy}{dt}$의 유일한 해는 지수함수인 $y(t) = y(0)e^{kt}$이다.
위 식을 자연증가의 법칙(law of natural growth)($k>0$) 또는 자연감소의 법칙(law of natural decay)($k<0$)이라 한다.
이것은 미지함수 $y$와 그의 도함수 $dy/dt$를 수반하기 떄문에 미분방정식(differential equation)이라고 한다.
앞서 곡선을 확대해보면 점차 직선처럼 보인다고 한 적이 있다.
계속 확대하다보면 이 직선은 곧 접선과 겹치게 된다.
따라서 접선의 방정식을 곡선의 선형(또는 일차) 근사식(linear approximation) 또는 접선 근사식(tangent line approximation)이라 부른다. 이 접선을 그래프로 갖는 1차 함수를 접점에서 곡선의 선형화(linearization)라고 부른다.
즉, 우리는 미시적 관점에서 곡선을 직선으로 선형화 할 수 있으며 간단한 근사식으로 표현할 수 있다.
상세한 내용은 이후 테일러 다항식에서 살펴보도록 하자.
일차 근사에 대한 배경의 아이디어는 가끔 미분의 용어와 기호로 공식화된다.
$f$가 미분가능한 함수일 때, $y=f(x)$라면, 미분(differential) $dx$는 독립변수이다.
즉, $dx$는 임의의 실수값으로 주어질 수 있고 미분 $dy$는 $dx$에 의해 방정식 $dy=f'(x)dx$로 정의하며 종속변수이다.
이를 기하학적인 관점에서 보면 $x$가 $\Delta x$만큼 움직였을 때,
곡선에서는 $\Delta y$만큼 움직이고 접선에서는 $dy$만큼 움직인다는 것이다.
여기서 무조건 오차가 발생할 수 밖에 없다.
하지만 $\Delta x$가 작을수록 두 $y$값은 비슷해지고 오차가 작아진다. 그리고 $dy$는 $\Delta y$보다 계산하기 쉽고, 더욱 복잡한 함수에 대하여 $\Delta y$를 정확하게 계산한다는 것은 불가능할 수도 있다.
따라서 미분에 의한 근사식은 매우 유용하게 쓰인다.