정의
함수 f는 집합 D의 각 원소 x가 집합 E에 있는 오직 한 원소 f(x)에 대응하는 규칙이다. (f : D → E)
이 규칙에 대해 집합 D를 함수의 정의역(domain)이라고 하고, f(x)의 모든 값들의 집합을 함수의 치역(range)이라고 한다.
표기 x는 정의역에서 임의의 수를 나타내는 독립변수(independent variable)이고,
치역에 있는 수를 나타내는 표기 f(x)를 종속변수(dependent variable)이라 한다.
수 f(x)는 x에서 f의 함숫값이라 하고, "f of x"로 읽는다.
즉, 각각의 정의역의 원소가 치역의 원소 중 오직 한 개와 대응해야 함수라 불릴 수 있다.
함수의 표현
함수를 표현하는 데에는 다양한 방법이 있다.
언어로 풀어서 설명할 수도 있고,
값들을 나열한 표로 보여줄 수도 있고,
대수식을 이용한 명확한 공식으로 표현할 수도 있으며
그래프를 이용해 시각적으로 표현할 수 있다.
집합으로써 관계를 파악할 때는 화살 도표를 이용하기도 한다.
그래프는 함수의 성질이나 "움직임"에 대한 정보를 파악하기에 용이하고 보통 대수적 공식을 이용해 표현한다.
정의역과 치역은 집합 표현 ' { r | r > 0 } ' 이나 구간 표기 ' (0, ∞) '로 나타낼 수 있다.
정의역의 각 부분에서 서로 다른 공식으로 정의되어 있을 수 있다. (절댓값 함수, 계단 함수 등)
이런 함수는 조각함수(piecewise function)라 한다.
기본 특징
함수에 대해 기본적으로 대칭성과 증가/감소를 파악할 수 있다.
함수 f가 정의역에 있는 모든 x에 대하여 f(-x) = f(x)를 만족하면, f를 우함수(even function, y축 대칭)라 한다.
함수 f가 정의역에 있는 모든 x에 대하여 f(-x) = - f(x)를 만족하면, f를 기함수(odd function, 원점 대칭)라 한다.
x 대신에 -x를 대입했을 때 나오는 결과를 기존 f(x)와 비교하면 y축이나 원점에 대한 대칭성의 유무를 파악할 수 있다.
구간 I에 속하는 x1, x2가 x1 < x2이면, f(x1) < f(x2)일 때 함수 f는 I에서 증가함수라 한다.
구간 I에 속하는 x1, x2가 x1 < x2이면, f(x1) > f(x2)일 때 함수 f는 I에서 감소함수라 한다.
수학적 모델
현상을 이해하고 미래를 예측하기 위해 수학적인 설명인 모델을 사용한다.
수학적 모델링의 과정은 다음과 같다.
1. 독립변수와 종속변수를 알아내어 이름을 붙이고 현상을 단순화하는 가정을 만들어 기호로 된 식으로 나타낸다.
2. 물리적 상황에 대한 지식과 수학적인 기능을 사용해서 변수들에 관한 방정식을 세운다.
3. 물리적 법칙이 없는 상황에서는 자료를 수집하고 패턴을 찾기 위해 표나 그래프를 만들어서 자료를 조사한다.
4. 수학에 적용시켜 수학적 결론을 내리고 해석하여 설명이나 예측을 제시한다.
5. 예측이 실제와 맞지 않다면, 모델을 개선하거나 새로운 모델을 만들어 이 순환을 다시 시작한다.
수학적 모델은 물리적 상황의 완벽하고 정확한 표현은 절대로 될 수 없다.
좋은 모델은 수학적 계산을 가능케 하도록 실제를 충분히 단순화하지만,
가치있는 결론을 도출하도록 충분히 정확해야 한다.
이 과정은 쉽게 말하면 이미 잘 알고 있는 것을 이용해 모르는 것들을 이해하고 예측한다는 것이다.
그러므로 우리는 여러 상황에 맞는 다양한 함수들을 어느정도 알고 있어야 하며,
해당 함수들의 특징은 물론 수학적 결론을 도출하기 위한 풀이 과정 등 일정 수준의 수학적 지식이 요구된다.
여러 모델 중 선형 모델을 간단히 살펴 보자.
y가 x의 1차 함수일 때 그 함수의 그래프는 직선이다. 직선방정식의 기울기-절편 형식으로 함수를 쓰면 다음과 같다.
y = f(x) = mx + b (m은 기울기, b는 y절편)
1차 함수의 특징은 일정한 비율(기울기만큼)로 증가하거나 감소한다는 것이다.
이렇게 기울기는 x에 대한 y의 변화율로 해석할 수 있다.
덕분에 데이터만 있다면 기울기와 순서쌍을 이용해 방정식을 세울 수 있고,
더 나은 선형 모델은 선형회귀라고 불리는 통계적 과정에 의해 얻을 수 있다.
(주로 최소제곱법을 사용한다 : 일반적 경향성을 담기 위해 분산이 0에 가까운 직선을 찾는 과정)
이후 실제 데이터에 적용해 보면서 알맞은 모델을 찾아 나가면 된다.
함수의 변환
함수를 조작하면 그래프를 통해 볼 때 기존과 달리 위치를 바꾸거나 형태를 바꿀 수 있다.
평행이동은 함수의 위치를 바꾼다.
c > 0일 때, y 대신 y - c를 대입하면 c만큼 위 방향으로, y - (-c)를 대입하면 c만큼 아래 방향으로 이동한다.
c > 0일 때, x 대신 x - c를 대입하면 c만큼 오른쪽으로, x - (-c)를 대입하면 c만큼 왼쪽으로 이동한다.
수직과 수평적 확장과 대칭
c > 1일 때, y에 c만큼 곱하면 y = f(x)의 그래프는 c만큼 수직으로 늘어난다.(1/c를 곱하면 c만큼 수직으로 압축된다)
c > 1일 때, x에 c만큼 곱하면 y = f(x)의 그래프는 c만큼 수평으로 압축된다.(1/c를 곱하면 c만큼 수평으로 압축된다)
y 대신 (-y)를 대입하면 y = f(x)의 그래프는 x축에 대해 대칭된다.
x 대신 (-x)를 대입하면 y = f(x)의 그래프는 y축에 대해 대칭된다.
함수에 절댓값을 붙이면 f(x) < 0인 부분은 x축에 대해 대칭된다.
이외에도 함수끼리 사칙연산을 수행하거나 합성을 통해 새로운 함수를 만들 수 있다.
단, 몫의 함수나 합성함수의 경우 각각의 정의역과 치역에 유의해야 한다.
(몫의 함수의 경우 분모에 위치한 함수가 0이 안되는 정의역이어야 하고, f ○ g에 대해 g의 치역이 f의 정의역에 포함되어야 한다)
역함수
만약 함수 f가 같은 값을 두 번 이상 취하지 않는다면 일대일함수(one-to-one function)라고 부른다.
즉, x1 ≠ x2일 때, f(x1) ≠ f(x2)
쉽게 생각하면 함수를 그래프로 나타냈을 때 수평선을 그어서 함수와 만나는 지점이 오직 한 군데이면 되는 것이다.
이러한 일대일함수에 대해서만 역함수가 정의된다.
역함수는 말 그대로 함수를 역순으로 적용한 것으로, 정의역과 치역이 바뀐 것이다.
그러므로, 역함수가 존재하려면 일대일함수이어야 한다.
따라서, 역함수를 그래프로 쉽게 나타내려면 y=x 대칭시켜 얻으면 된다.