곡선의 접선은 곡선과 접하는 직선이다.
접선이란 단어는 '접촉'이란 뜻의 라틴어 tangens에서 유래했다.
유클리드의 정의에서는 원의 한 점만 지나는 직선을 접선이라 칭한다.
하지만 복잡한 곡선에서는 그저 할선(secant line)이 될 뿐이다.
만약 할선의 두 점이 서로 가까워져 한 점으로 볼 수 있게 된다면 우리는 그 선을 접선이라고 봐도 무방하다.
여기서 극한의 개념이 대표적으로 사용된다.
대표적인 문제로는 순간속력(접선의 기울기)과 평균속력(할선의 기울기)이 있다.
함수의 극한
$a$와 같지는 않지만 $a$에 충분히 가까운 $x$를 잡으면 $L$에 얼마든지 가까운 $f(x)$값을 얻을 수 있을 때
$\displaystyle\lim_{x→a} f(x)=L$
로 나타내고 "$x$가 $a$에 접근할 때 $f(x)$의 극한은 $L$이다"라고 말한다.
주의해야 할 것은 $x=a$를 고려하지 않는다는 것이다.
a보다 작은 값에서 접근하면 좌극한, a보다 큰 값에서 접근하면 우극한이라고 한다.(한쪽 극한)
$\displaystyle\lim_{x→a} f(x)=L$이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle\lim_{x→a^+} f(x)=L$이고 $\displaystyle\lim_{x→a^-} f(x)=L$이다.
극한을 취했을 때 값이 양의 무한대($+\infty$) 혹은 음의 무한대($-\infty$)가 되는 경우도 있다.
하지만 이 무한대는 숫자로 인정되지 않고 그저 임의로 원하는 만큼 크거나 작게 할 수 있다는 표현일 뿐이다.
또한 극한이 존재한다는 것을 의미하지도 않는다.
$x$가 $a$에 충분히 가까워질 때 $\pm\infty$가 된다면, 직선 $x=a$를 곡선의 수직 점근선(vertical asymptote)이라 한다.
극한 법칙
$c$가 상수이고 두 극한 $\displaystyle\lim_{x→a} f(x)$와 $\displaystyle\lim_{x→a} g(x)$가 존재한다고 할 때,
다음 예시와 같이 분배법칙처럼 모든 사칙연산에 대해 $\displaystyle\lim$를 분배할 수 있다.
$\displaystyle\lim_{x→a} [f(x) + g(x)] = \displaystyle\lim_{x→a} f(x) + \displaystyle\lim_{x→a} g(x)$
단, 나눗셈과 제곱근의 경우 각 조건에 대해 주의해야 한다.
$x$가 $a$ 근방에서 ($a$는 제외할 수 있음) $f(x) \le g(x)$이고 $x$가 $a$에 접근할 때
$f$와 $g$의 극한이 모두 존재하면
$\displaystyle\lim_{x→a} f(x) \le \displaystyle\lim_{x→a} g(x)$
위 정리를 확장하면 아래의 조임정리가 성립함을 쉽게 알 수 있다. (샌드위치 정리 혹은 압축정리라고도 불림)
$x$가 $a$ 근방에서 ($a$는 제외할 수 있음) $f(x) \le g(x) \le h(x)$이고
$\displaystyle\lim_{x→a} f(x) = \displaystyle\lim_{x→a} h(x) = L$ 이면
$\displaystyle\lim_{x→a} g(x) = L$
조임정리를 이용하면 쉽게 도출되지 않는 함수의 극한도 쉽게 도출할 수 있다.
극한의 엄밀한 정의
사실 극한을 제대로 정의하기 위해선 무한소라는 개념이 필요하다.
무한소란, 쉽게 말하자면 0보다는 크지만 허용할 수 있을 만큼 충분히 작은 임의의 수이다.
이를 이용하면 다음과 같이 극한을 정의할 수 있다.
$f$를 $a$가 포함하는 어떤 개구간($a$는 제외될 수 있음)에서 정의된 함수라고 할 때,
임의의 양수 $\varepsilon$에 대하여
$0 < |x-a| < \delta$이면 $|f(x) - L| < \varepsilon$
을 만족하는 $\delta > 0$가 존재하면, $x$가 $a$에 접근할 때 $f(x)$의 극한이 $L$이라 정의하고
$\displaystyle\lim_{x→a} f(x) = L$로 나타낸다.
극한이 이렇게 정의되듯 무한극한도 무한소를 이용해 정의할 수 있고
추후 나오는 극한과 관련된, 혹은 무한소 개념이 필요한 부분에서 무한소를 이용해 증명할 수 있다.
연속성
$\displaystyle\lim_{x→a} f(x) = f(a)$일 때 함수 $f$는 $a$에서 연속(continuous)이다.
이 정의는 함숫값이 존재하고, 극한값이 존재하며, 두 값이 같아야 하는 3가지 조건을 내포하고 있다.
연속이 아니면 불연속이다.
지점을 구간으로 확장하면 다음과 같다.
만약 함수가 어떤 구간의 모든 점에서 연속일 때 그 함수는 그 구간에서 연속이라고 한다.
극한법칙처럼 함수가 $a$에서 연속일 때, 사칙연산을 진행해도 역시 $a$에서 연속이다.
연속함수 $f$와 $g$를 결합하여 새로운 연속함수를 얻는 또 다른 방법은 합성함수를 만드는 것이다.
$f$가 $b$에서 연속이고 $\displaystyle\lim_{x→a} g(x) = b$이면 $\displaystyle\lim_{x→a} f(g(x)) = f(b)$이다. 즉,
$\displaystyle\lim_{x→a} f(g(x)) = f(\displaystyle\lim_{x→a} g(x))$
흔히 "연속함수의 연속함수는 연속함수이다."라고 말한다.
연속함수에 관한 중요한 성질 중 하나는 중간값 정리이다.
$f$가 폐구간 $[a, b]$에서 연속이고 $N$이 $f(a)$와 $f(b)$ 사이의 어떤 값일 때
$f(c) = N$인 $c$가 개구간 $(a, b)$ 내에 존재한다.
연속함수는 그래프 상으로 구멍이 없거나 끊어지지 않은 함수이기에 어쩌면 당연한 사실이다.
무한대에서 극한: 수평점근선
이전까지 x를 특정한 지점에 가까이 가도록 했다. 이번에는 무한대로 보내버리자.
함수 $f$가 구간 $(a, \infty)$에서 정의된다고 하자.
$\displaystyle\lim_{x→\pm\infty} f(x) = L$은
$x$를 충분히 크게 잡았을 때 $f(x)$의 값을 원하는 만큼 $L$에 가깝게 할 수 있음을 의미한다.
말 그대로 극한이기에 x는 무한대(특정한 값)가 될 수 없다.
따라서 f(x)는 L에 한 없이 가까워질 뿐 실제로 그렇게 될 수는 없다.
따라서 y=L을 y=f(x)의 수평 점근선(horizontal asymptote)이라고 부른다.
무한대에서 극한 역시 지점에서 극한과 같이 극한법칙들이 성립한다.
조건도 극한값이 존재하기만 하면 된다.
무한대에서 무한극한도 살펴보자.
$f$는 구간 $(a, \infty)$에서 정의된 함수라 하자.
$\displaystyle\lim_{x→\infty} f(x) = \infty$는 모든 양수 $M$에 대하여
$x > N$이면 $f(x) > M$
을 만족하는 양수 $N$이 존재한다.
이는 다시말해 구간 $(a, \infty)$에서 해당 함수가 '증가만' 한다는 것이다. (반대의 경우도 성립)
미분계수와 변화율
다시 접선이다.
할선의 기울기식에 극한을 씌우면 접선의 기울기가 된다.
점 $P(a, f(a))$에서 곡선 $y=f(x)$의 접선은
$m=\displaystyle\lim_{x→a} \frac{f(x) - f(a)} {x - a}$
가 존재할 때 $P$를 지나 기울기가 $m$인 직선이다.
한 점에서 곡선에 대한 접선의 기울기를 그 점에서 곡선의 기울기라고도 한다.
점 부근을 충분히 확대해보면 곡선이 마치 직선처럼 보인다는 것이다.
이러한 형태의 극한은 폭넓게 나타나기 때문에 특별한 명칭이나 기호를 붙인다.
극한 $f'(a) = \displaystyle\lim_{x→a} \frac{f(a+h) - f(a)} {h}$가 존재할 때
이 극한을 $a$에서 함수 $f$의 미분계수[또는 도함수(derivative)]라 하고 $f'(a)$로 나타낸다.
따라서 미분계수를 구할 수 있고, 해당 점의 좌표를 안다면 접선의 방정식을 구할 수 있다.
잠시 여러 가지 변화율에 대해 살펴보자.
$x$가 $x_1$에서 $x_2$로 변할 때 $x$의 변화량($x$의 증분이라 한다)은 $\Delta x = x_2 - x_1$이고,
이에 대응하는 $y$의 변화량은 $\Delta y = f(x_2) - f(x_1)$이다.
이들 차의 비 $\frac {\Delta y} {\Delta x} = \frac {f(x_2) - f(x_1)} {x_2 - x_1}$을
구간 $[x_1, x_2]$에서의 $x$에 관한 $y$의 평균변화율(average rate of change)이라 하고
할선의 기울기로 해석될 수 있다.
$x_2$를 $x_1$에 접근시키고, 따라서 $\Delta x$를 0에 접근시켜,
다시말해 평균변화율의 $x=x_1$에서의 극한은 $x$에 관한 $y$의 순간변화율(instantaneous rate of change)이 된다.
순간변화율 = $\displaystyle\lim_{\Delta x→0} \frac{\Delta y} {\Delta x} = \displaystyle\lim_{x_2→x_1} \frac{f(x_2) - f(x_1)} {x_2 - x_1}$
이 극한은 미분계수 $f'(x_1)$과 같다.
따라서 미분계수 $f'(a)$는 $x=a$일 때 $y=f(x)$의 $x$에 대한 순간변화율이라 할 수 있다.
결국 모든 변화율은 도함수이며, 따라서 기하학적으로는 접선의 기울기로 해석될 수 있다.
함수로서 도함수
$x$에 대해 미분계수(평균변화율의 극한)가 존재할 때 이를 $f'(x)$로 대응시킨다면
$f'$을 $f$의 도함수라고 부르는 새로운 함수라 할 수 있다.
$f'$의 정의역은 $f$의 정의역보다 크지 않다.
도함수를 나타내는 몇몇 공통의 기호들이 있다.
기호 $D$와 $d/dx$는 도함수를 구하는 과정은 미분(differentiation)의 연산을 나타내기 때문에 미분연산자라고 부른다.
$f'(x) = y' = \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}f(x) = Df(x) = D_x f(x)$
라이프니츠에 의해 소개된 기호 $dy/dx$는 특별히 증분기호와 함께 사용할 때 매우 유용하고 함축적인 기호가 된다.
$\frac{dy}{dx} = \displaystyle\lim_{\Delta x→0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$와 같은 형태로 도함수의 정의를 나타낼 수 있다.
특정한 수 $a$에서의 도함수 값을 라이프니츠의 기호로 나타내면 $\frac{dy}{dx}|_{x=a}$ 또는 $\frac{dy}{dx}]_{x=a}$를 사용한다.
$f'(a)$가 존재하면 함수 $f$는 $a$에서 미분가능하다(differentiable)고 말한다.
함수가 개구간 $(a, b)$ [또는 $(a, \infty)$ 또는 $(-\infty, a)$ 또는 $(-\infty, \infty)$ ] 안의 모든 점에서
미분가능하면 함수는 그 개구간에서 미분가능하다고 한다.
참고로 미분가능성과 연속성은 연관이 없다.
연속이지만 미분불가능일 수도 있고(|x|), 미분가능이지만 불연속일 수도(1/x) 있다.
일반적으로 함수가 '첨점'이나 '꼬임'을 가졌을 때 이 점에서 접선을 갖지 못하고 거기서 미분가능하지 않다.
(해당 지점에서 미분계수을 구할 때 좌, 우 극한이 다르다는 것을 알 수 있다)
또, $x=a$에서 곡선이 수직접선을 갖는다면 미분가능하지 않다.
해당 지점에서 곡선의 기울기가 무한대가 되기 때문에 수렴하지 않아 도함수를 정의할 수 없다.
$f$가 미분가능한 함수이면 도함수 $f'$도 역시 함수이고, 따라서 $f'$도 도함수를 가질 수 있다.
이 도함수를 2차(계) 도함수(second derivative)라고 부른다.
$f'' = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \frac{d^2 y}{dx^2}$
일반적으로, 2차 도함수는 변화율의 변화율이다.
흔한 예시로 거리-시간 함수에 대해 1차 도함수는 속도를 나타내고,
2차 도함수는 가속도를 나타낸다.
미분 과정은 계속될 수 있으며 n차 도함수로 아울러 표현할 수 있다.
$y^{(n)} = f^{(n)}(x) = \frac{d^n y}{dx^n}$