7. 적분의 응용

부피

우리가 흔히 접할 수 있는 원기둥, 직육면체 등의 주면체(cylinder)의 경우 쉽게 부피를 구할 수 있다.

 

주면체가 아닌 입체의 경우 평면 그래프 상에서의 적분처럼 입체를 작은 조각으로 자른 후 각각의 조각을 주면체로 근사시키고 합해서 부피를 구할 수 있다. 즉, 절단면에 대한 함수식이 있다면 적분과 같은 형태로 부피를 구할 수 있다.

$S$는 $x=a$와 $x=b$ 사이에 놓인 입체라고 하자. 만일 점 $x$를 지나고 $x$축에 수직인 평면 $P_{x}$에 있는 $S$의 절단면의 넓이를 $A(x)$라고 하자. 그러면 $S$의 부피는 $V = \displaystyle\lim_{x→\infty} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} A(x_{i}^{*})\Delta x = \displaystyle\int_{a}^{b} A(x)dx$이다. (단, $A$는 연속함수이다.)

절단면은 밑면이 되고 $\Delta x$는 높이가 되는 셈이다.

 

x축이나 y축을 기준으로 하는 회전체(solid of revolution)에 대해서도 이 공식을 적용할 수 있다.

절단면을 $\pi (외부 반지름)^{2} - \pi (내부 반지름)^{2}$으로 삼으면 쉽게 부피를 구할 수 있다.

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원통셸 방법에 의한 부피 계산

앞선 방법으로 y축을 기준인 회전체에 대해 함수식이 복잡할수록 부피를 구하기 까다로워진다.

$y=f(x)$을 $x=f(y)$로 바꿔야 하는데 이 과정이 쉽지 않을 수 있다.

 

원통셸, 속이 비어있는 원기둥을 생각해보자.

그러면 부피는 $V = V_{2} - V_{1} = \pi (r_{2}^{2} - r_{1}^{2})h$

                           $= \pi (r_{2} + r_{1})(r_{2} - r_{1})h = 2\pi\frac{r_{2}+r_{1}}{2}h(r_{2} - r_{1})$로 표현할 수 있다.

만일 $\Delta r = r_{2} - r_{1}$(셸의 두께)과 $r=\frac{1}{2}(r_{2}+r_{1})$(셸의 평균 반지름)으로 놓으면 원통셸의 부피는 $V = 2\pi rh\Delta r$이며 [원둘레] x [높이] x [두께]임을 알 수 있다. 이를 일반화하면 다음과 같다.

 

$a$에서 $b$까지 곡선 $y=f(x)$ 아래 부분을 $y$축으로 회전하여 생기는 입체의 부피는 $V = \displaystyle\int_{a}^{b} 2\pi xf(x) dx$     (단, $0 \le a \le b$)이다.

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호의 길이

곡선의 길이는 다음과 같이, 곡선에 내접하는 다각형의 길이의 극한으로 정의한다.

(극한이 존재한다면)  $L = \displaystyle\lim_{n→\infty}\sum_{i=1}^{n}|P_{i-1}P_{i}|$

 

호의 길이의 정의는 계산을 하는 데는 매우 불편하지만

곡선이 연속인 도함수를 갖는다면 적분식을 유도할 수 있다.

(이러한 함수 $f$는 $x$에 대한 작은 변화가 $f'(x)$에 대한 작은 변화를 가져오므로 '매끄럽다'라고 부른다)

 

선분의 길이는 '점과 점 사이의 거리' 공식으로 나타낼 수 있고

x와 y 각각의 증분으로 표현할 수 있다.

이때, $f(x_{i}) - f(x_{i-1}) = f'(x_{i}^{*})(x_{i} - x_{i-1})$이므로 $\Delta y_{i} = f'(x_{i}^{*})\Delta x$로 나타낼 수 있다.

 

이를 잘 정리하면 다음과 같은 공식이 유도된다.

호의 길이(Arc Length) 공식
$f'$이 구간 $[a, b]$에서 연속이면, 곡선 $y=f(x)$, $(a \le x \le b)$의 길이는 다음과 같다.
                                        $L = \displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{1+[f'(x)]^{2}} dx$

$x=g(y)$로 나타낸 곡선에 대해서도 동일하게 적용할 수 있다.

일반적으로 루트는 제곱식으로 벗기거나 삼각치환, 근삿값으로 계산을 마무리한다.

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호의 길이 공식이 정적분으로 '수'라면 호의 길이 '함수' 역시 존재한다.

매끄러운 곡선 $C$가 식 $y=f(x)$, $a \le x \le b$로 표현될 때, $s(x)$가 시작점 $P_{0}(a, f(a))$에서 점 $Q(x, f(x))$까지 곡선 $C$를 따르는 거리라고 할 때 호의 길이 함수는 다음과 같이 표현된다.
                                        $s(x) = \displaystyle\int_{a}^{x}\sqrt{1+[f'(t)]^{2}} dt$

이때, x에 대한 s의 변화율은 항상 1보다 크거나 같고 $f'(x)$가 0일 때는 1이 된다.

 

호의 길이의 미분은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$ds = \sqrt{1+( \frac{dy}{dx} )^{2}} dx = \sqrt{1+ ( \frac{dx}{dy} )^{2}}dy$

이 식은 때때로 $(ds)^{2} = (dx)^{2} + (dy)^{2}$의 대칭적인 형태로 표현된다.

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회전체의 겉넓이

원기둥의 측면 겉넓이는 $2\pi rh$ (r은 높이)이다.

밑면의 반지름이 $r$이고 경사면의 높이가 $l$인 원뿔의 측면 겉넓이는 $\frac{1}{2}l^{2}\theta = \pi rl$이다.

 

여기서 원뿔때의 측면 겉넓이는 큰 원뿔에서 작은 원뿔을 빼서 구할 수 있다.

$A = \pi r_{2}(l_{1} + l) - \pi r_{1}l_{1} = \pi[(r_{2}-r_{1})l_{1} + r_{2}l]$

 

여기서 삼각형의 닮음비($\frac{l_{1}}{r_{1}} = \frac{l_{1}+l}{r_{2}}$)를 적용하면

$A = \pi (r_{1}l + r_{2}l)$이 되고 정리하면 $A = 2\pi \frac{r_{1}+r_{2}}{2}l$이 된다.

임의의 회전체에 대해 겉넓이를 구할 때, 원뿔때를 이용하여 구할 것이다.

(단면이 유동적으로 변한다는 것을 이용)

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원뿔때의 측면 겉넓이 공식을 회전체의 겉넓이에 적용해보자.

$\frac{r_{1}+r_{2}}{2}$는 평균반지름으로 절단면의 반지름이라고 할 수 있다.

$l$은 경사높이로, 작은 구간에서 곡선의 길이라고 할 수 있다.

 

따라서, 호의 길이 공식을 이용해 식을 정리하고 전체 회전면의 넓이를 근사하면 다음과 같다.

$\displaystyle\lim_{n→\infty}\sum_{i=1}^{n}2\pi f(x_{i}^{*})\sqrt{1+[f'(x_{i}^{*})]^{2}}\Delta x = \displaystyle\int_{a}^{b} 2\pi f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^{2}} dx$

이는 x축을 회전축으로 한 회전체 곡면의 겉넓이(surface area)이고, 당연히 y축에 대해서도 성립한다.

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함수의 평균값

일반적으로 평균은 유한 개의 수를 합하고 개수로 나누어서 구한다.

함수의 평균값도 구할 수 있을까?

 

$\frac{f(x_{1}^{*})+\cdots +f(x_{n}^{*})}{\frac{b-a}{\Delta x}} = \frac{1}{b-a}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\Delta x$

만일 n을 증가시킨다면 구간 $[a, b]$에서 함수 $f$의 평균값을 구할 수 있다.

$f_{ave} = \displaystyle\lim_{n→\infty}\frac{1}{b-a}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\Delta x = \frac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx$

 

이를 이용해 만든 정리가 있다.

적분에 대한 평균값 정리(Mean Value Theorem for integrals)
함수 $f$가 구간 $[a, b]$ 위에서 연속이면 $f(c) = f_{ave} = \displaystyle\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx$
즉, $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx = f(c)(b-a)$를 만족하는 점 $c$가 구간 $[a, b]$ 안에 적어도 하나 존재한다.

기하학적으로 해석하면 함숫값(높이)만 잘 찾으면 적분값을 직사각형의 넓이로 구할 수 있다는 의미이다.