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Math/Calculus

12. 편도함수

hyuckee 2022. 9. 20. 21:47
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다변수함수

이변수함수(function of two variables)
f는 집합 D의 실수의 각 순서쌍 (x,y)에 단 하나의 실수를 대응시키는 규칙으로 f(x,y)와 같이 나타낸다. 집합 Df의 정의역(domain)이고 치역(range)은 f가 취하는 실수값들의 집합이다. 즉 {f(x,y)|(x,y)D}이다.

일반적인 점 (x,y)에서 f에 의해 정해진 값을 명확히 표시하기 위해 종종 z=f(x,y)로 쓴다. 변수 xy는 독립변수이고 z는 종속변수이다.

f가 정의역이 D인 이변수함수이면, f의 그래프(graph)는 R3에서 (x,y)D이고 z=f(x,y)인 모든 점 (x,y,z)의 집합이다.

이러한 그래프는 곡면을 나타낸다.

 

k가 (f의 치역 안에 있는) 상수일 때 방정식 f(x,y)=k를 만족하는 곡선을 이변수함수 f의 등위곡선(level curve)이라 한다.

등위곡선들이 서로 인접해 있는 곳의 곡면은 가파르고 멀리 떨어져 있는 곳은 다소 평평하다.

 

삼변수함수(function of three variables) f는 정의역 DR3 안의 각 순서쌍 (x,y,z)에 유일한 실수 f(x,y,z)를 대응시키는 규칙이다.

삼변수함수의 그래프가 사차원 공간에 있으므로 그래프로 가시화하는 것은 불가능하다. 하지만 등위곡면(level surface)을 조사함으로써 구조를 살펴볼 수 있다.

 

변수의 개수가 늘어날수록 함수를 표기하기 어려워진다. 때로는 함수를 좀더 간단히 나타내기 위해 벡터표기법을 이용해 내적 형태로 표현하기도 한다.


극한과 연속성

f(a,b)에 임의로 가까이 있는 점들을 포함하는 정의역 D 상에서 정의된 이변수함수라 하자. 만일 임의의 양수 ϵ>0에 대하여, 이에 대응하는 양수 δ>0가 존재해서
                   (x,y)D,                0<(xa)2+(yb)2<δ
을 만족하는 (x,y)에 대해
                   |f(x,y)L|<ϵ 일 때, lim로 쓰고
(x, y)(a, b)에 접근할 때 f(x, y)의 극한값(limit)을 L이라고 한다.

즉, 방향(경로)은 극한과 무관하다. 단지, 접근하면서(거리를 충분히 작게 함으로써) 같은 극한을 가지기만 하면 된다.

 

일변수함수와 마찬가지로 이변수함수의 극한의 계산도 극한 법칙을 사용할 수 있다.

이변수함수 f(a, b)에서 '연속이다'라는 것은 \displaystyle\lim_{(x, y)→(a, b)}f(x, y) = f(a, b)일 때를 말한다. 만약 D가 모든 점 (a, b)에서 연속이면 fD 상에서 연속이다라고 한다.

이변수의 다항식함수(polynomial function of two variables)는 cx^{m}y^{n}형태들의 합이다. 유리함수(rational function)는 다항식들의 분수식이다.

 

이 개념들은 셋 이상 변수의 함수로 확장할 수 있다.


편도함수

일반적으로 f가 두 변수 xy의 함수이면, y를 고정하는 동안, 즉 y=b(b는 상수)로 일정할 때 오직 x만 변한다고 가정하자. 그러면 실제로 단지 일변수 x만의 함수를 생각할 수 있다.

즉, g(x)=f(x, b). 만일 g가 도함수를 가지면, (a, b)에서 x에 관한 f의 편도함수(partial derivative)라고 하고, f_{x}(a, b)로 표시한다.

기하학적인 해석은 y=b의 평면에서 자취에 대한 점에서 접선의 기울기이다.

f_{x}(x, y) = \displaystyle\lim_{h→0}\frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}

f_{y}(x, y) = \displaystyle\lim_{h→0}\frac{f(x, y+h) - f(x, y)}{h}
편도함수의 표기법       z = f(x, y)이면,
f_{x}(x, y) = f_{x} = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}f(x, y) = \frac{\partial z}{\partial x} = f_{1} = D_{1}f = D_{x}f

f_{y}(x, y) = f_{y} = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}f(x, y) = \frac{\partial z}{\partial y} = f_{2} = D_{2}f = D_{y}f

마찬가지로 셋 이상의 변수에 대한 함수에서도 역시 정의된다.

 

f가 이변수함수이면 이것의 f_{x}f_{y} 또한 이변수함수이다. 그리고 그들의 편도함수인 f의 2계 편도함수(second partial derivative)를 생각할 수 있다.

(f_{x})_{x} = f_{xx} = f_{11} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigg(\frac{\partial f}{\partial x}\Bigg) = \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}
(f_{x})_{y} = f_{xy} = f_{12} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigg(\frac{\partial f}{\partial x}\Bigg) = \frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}
(f_{y})_{x} = f_{yx} = f_{21} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigg(\frac{\partial f}{\partial y}\Bigg) = \frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}
(f_{y})_{y} = f_{yy} = f_{22} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigg(\frac{\partial f}{\partial y}\Bigg) = \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} = \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}
클레로 정리(Clairaut's Theorem)
f를 점 (a, b)를 포함하는 원판 D에서 정의된 함수라 하자. 만약 함수 f_{xy}f_{yx}D에서 연속이면 f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)이다.

3계 이상의 편도함수도 정의될 수 있다.(f_{xyy} = f_{yxy} = f_{yyx})


접평면과 선형근사

앞서 편도함수를 구해보았다. 편미분계수는 각각의 평면에서 접선의 기울기였다. 이렇게 생긴 하나의 점에서의 접선들은 평면을 이룬다. 이 평면을 접평면(tangent plane)이라 부른다.

f가 연속인 편도함수를 가질 때 점 P(x_{0}, y_{0}, z_{0})에서 곡면 z = f(x, y)에 대한 접평면의 방정식은 z-z_{0} = f_{x}(x_{0}, y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0}, y_{0})(y-y_{0})이다.

그래프가 이 접평면인 1차함수는 (x_{0}, y_{0})에서 f의 선형화(linearization)라 부르고 근사는 (x_{0}, y_{0})에서 f의 선형근사(linear approximation) 또는 접평면근사(tangent plane approximation)라 부른다.

 

일변수함수에서 증분을 이용해 미분가능성을 정의했듯 이변수함수의 미분가능성도 다음과 같이 정의할 수 있다.

z=f(x,y)일 때, 만약 \Delta z
                     \Delta z = f_{x}(a,b)\Delta x + f_{y}(a,b)\Delta y + \epsilon_{1}\Delta x + \epsilon_{2}\Delta y
형으로 표현될 수 있다면 f(a, b)에서 미분가능(differentiable)이다.
(\Delta x, \Delta y) → (0, 0)일 때 \epsilon_{1}\epsilon_{2} → 0이다.

따라서 만약 (a, b)에서 편도함수 f_{x}, f_{y}가 존재하고 (a, b)에서 연속이면, f(a, b)에서 미분가능하다.

 

이변수함수에 대해 미분 또는 전미분(total differential)은 다음과 같이 정의한다.

dz = f_{x}(x, y)dx + f_{y}(x, y)dy = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy


연쇄법칙

일변수 이상의 함수에 대한 연쇄법칙은 여러 가지 형태가 있으며 그것들 각각은 합성함수를 미분하는 법칙을 제공한다.

경우 1
z = f(x, y)xy에 관해 미분가능한 함수라 하고 x=g(t)y=h(t)t의 미분가능한 함수라 하자.
그러면 zt의 미분가능한 함수이고 \displaystyle\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}이다.

 

경우 2
x=g(s, t), y=h(s, t)st의 미분가능한 함수이고 z=f(x, y)xy의 미분가능한 함수이면
              \displaystyle\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}               \displaystyle\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}
이다.

이를 통해 삼변수 이상의 일반적인 경우에 대해서도 연쇄법칙이 성립한다.

참고로 2계 이상의 편미분은 하나하나 실제로 천천히 계산하는 게 편하다.

 

 

F(x, y)=0형의 방정식이 x의 미분가능한 함수로써 y를 음함수적으로 정의한다고 하자. 즉, f의 정의역에 있는 모든 x에 대하여 F(x, f(x))=0일 때 y=f(x)이다. 만약 F가 미분가능이면, x에 관해 식 F(x, y)=0의 양변을 미분하여 \frac{\partial F}{\partial x}\frac{dx}{dx} + \frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{dx} = 0을 얻을 수 있고 다음과 같이 풀 수 있다.

\displaystyle\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} = -\frac{F_{x}}{F_{y}}


방향도함수와 기울기 벡터

이전의 편도함수는 x축 또는 y축과 평행한 방향에서 z의 변화율을 나타냈다.

이번에는 그걸 확장시켜 임의의 벡터 방향에서의 변화율을 구해보자.

단위벡터 \mathbf{u} = <a, b> 방향에 대한 (x_{0}, y_{0})에서 f방향도함수(directional derivative)는 다음의 극한이 존재할 때
            D_{u}f(x_{0}, y_{0}) = \displaystyle\lim_{h→0}\frac{f(x_{0}+ha, y_{0}+hb) - f(x_{0}, y_{0})}{h}이다.

 

따라서 fxy의 미분가능한 함수이면, f는 모든 단위벡터 \mathbf{u} = <a, b> 방향으로의 방향도함수를 갖고 D_{u}f(x, y) = f_{x}(x, y)a + f_{y}(x, y)b이다.

 

방향도함수도 두 벡터의 내적으로 쓸 수 있다. 이때, \mathbf{u}가 아닌 나머지 벡터는 f의 기울기 벡터(f의 gradient)라는 특별한 이름을 붙이고, grad f 또는 \nabla f로 표기하며 'del f'라 읽는다.

f가 두 변수 xy의 함수이면, f의 기울기 벡터는 벡터함수 \nabla f이고 다음과 같이 정의된다.
\nabla f(x, y) = <f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)> = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}

D_{u}f(x, y) = \nabla f(x, y) \cdot \mathbf{u}이며 이것은 \mathbf{u} 위에 기울기 벡터를 정사영시킨 것으로 \mathbf{u}방향으로의 함수 f의 방향도함수를 나타낸다.

 

 

f가 이변수 또는 삼변수의 미분가능한 함수라고 하자. 그러면 방향도함수 D_{u}f(\mathbf{x})의 최댓값은 |\nabla f(\mathbf{x})|이고, 이것은 기울기 벡터 \nabla f(\mathbf{x})와 벡터 \mathbf{u}의 방향이 일치할 때 나타난다.

내적으로 생각하면 이유를 알 수 있다.

 

등위곡면 상의 임의의 곡선의 접선벡터와 해당 지점에서 접평면의 법선벡터(기울기벡터)는 서로 수직이다.

 

등위곡선에서 기울기 벡터는 다음 등위곡선까지의 가장 빠른 증가 방향을 제공한다.(수직방향으로 움직이면 최대증가치를 얻는다.)


최댓값과 최솟값

(a, b) 근방에 있는 모든 (x, y)에 대해 f(x, y) \le f(a, b)이면 이변수함수 f(a, b)에서 극대를 갖는다. [이것은 중심이 (a, b)인 어떤 원판 내의 모든 점 (x, y)에 대해 f(x, y) \le f(a, b)를 의미한다.] 값 f(a, b)는 극댓값(local maximum value)이라 부른다. 만약 (a, b) 근방에 있는 모든 (x, y)에 대해 f(x, y) \ge f(a, b)이면, f(a, b)에서 극소를 갖고 f(a, b)는 극솟값(local minimum value)이다.

만약 정의역의 모든 점에서 부등식이 성립하면 최대 또는 최솟값을 가진다고 말한다.

 

만약 f(a, b)에서 극값(극대값 또는 극솟값)을 가지며 1계 편도함수가 (a, b)에서 존재하면, f_{x}(a, b) = 0이고 f_{y}(a, b) = 0이다. (즉, \nabla f(a,b) = \mathbf{0})

 

f_{x}(a, b) = 0, f_{y}(a, b) = 0 또는 이러한 편도함수들 중 하나가 존재하지 않는 그러한 점 (a, b)f의 임계점(critical point 또는 stationary point)이라 부른다.

 

2차 도함수 판정법
중심 (a, b)로 하는 원판에서 f의 2계 편도함수가 연속이고 f_{x}(a, b) = 0, f_{y}(a, b) = 0 [즉, (a, b)f의 임계점]이라 하며
                 D = D(a, b) = f_{xx}(a,b)f_{yy}(a, b) - [f_{xy}(a, b)]^{2}이라 하자.

(a) D>0이고 f_{xx}(a, b) > 0이면, f(a, b)는 극솟값이다.
(b) D>0이고 f_{xx}(a, b) < 0이면, f(a, b)는 극댓값이다.
(c) D<0이면 f(a, b)는 극값이 아니다.

(c) 경우 점 (a, b)f의 안장점(saddle point)이고, f의 그래프는 (a, b)에서 접평면과 교차한다.

D에 관한 공식을 잘 기억하기 위해 행렬식을 쓰면 도움이 된다.

 

이변수함수에 대한 극값 정리
\mathbb{R}^{2}상의 유계인 폐집합(경계점 포함함) D에서 f가 연속이면 fD 안의 어떤 점 (x_{1}, y_{1})(x_{2}, y_{2})에서 최댓값 f(x_{1}, y_{1})과 최솟값 f(x_{2}, y_{2})를 갖는다.

하지만 만약 f(x_{1}, y_{1})에서 극값을 가지면 (x_{1}, y_{1})은 임계점 또는 D의 경계점이다.

그러므로 유계인 폐집합 D에서 연속함수 f의 최댓값과 최솟값을 구하기 위하여 다음의 절차를 따라야 한다.

1. D에서 f의 임계점에서 f의 값을 구한다.
2. D의 경계 위에서 f의 값을 구한다.
3. 1과 2로부터 가장 큰 값은 최댓값이고, 가장 작은 값은 최솟값이다.

라그랑주 승수

이전까지 일반적으로 최대, 최소 구하는 법을 알아봤다.

라그랑주 방법은 제약조건을 그래프에 투영시켜서 문제 함수의 교점 중 극값을 찾고 결국 공통접선을 찾는 방법이다.

따라서 접하는 점에서의 법선은 동일하므로 기울기 벡터가 평행함을 이용한다.

 

\nabla f(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = \lambda \nabla g(x_{0}, y_{0}, z_{0})

이 식에서 수 \lambda는 라그랑주 승수(Lagrange multiplier)라 부른다.

라그랑주 승수의 방법
g(x, y, z) = k를 제약조건으로 하여 f(x, y, z)의 최댓값과 최솟값을 구하기 위하여 [이러한 극값이 존재하고 곡면 g(x, y, z) = k상에서 \nabla g \ne 0이라 가정하면서]
(a) 다음을 만족하는 모든 x, y, z, \lambda의 값을 구한다.
                           \nabla f(x, y, z) = \lambda \nabla g(x, y, z)
                                          g(x, y, z) = k
(b) 단계 (a)에서 구한 모든 점 (x, y, z)에서 f의 값을 계산한다. 이 값들 중 가장 큰 것이 f의 최댓값이고 가장 작은 것이 f의 최솟값이다.

제약조건이 2개(g = k, h = c라면? - 최대, 최소 구하기

제약 조건은 각각의 곡면을 만들게 되고 이를 통해 교차 곡선이 생긴다.

\nabla f는 그 점에서 교차 곡선과 수직이다.

\nabla gg=k와 수직이고, \nabla hh=c와 수직이다. 그러므로 gh 모두 교차곡선에 수직이다. 이것은 세 기울기 벡터 모두 동일한 평면 내에 있다는 것을 의미한다. 따라서 다음의 방정식을 만족한다.

\nabla f(x_{0}, y_{0}, z{0}) = \lambda \nabla g(x_{0}, y_{0}, z{0}) + \mu \nabla h((x_{0}, y_{0}, z{0})

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