하늘 보면서 살자구요

순열 $\displaystyle _{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ 서로 다른 n개에서 r개를 택해 일렬로 나열하는 경우의 수 중복순열 $\displaystyle _{n}\Pi_{r} = n^{r}$ 중복을 허용하여 서로 다른 n개에서 r개를 택해 일렬로 나열하는 경우의 수 같은 것이 있는 순열의 경우 그 수 만큼 계승을 나눈다. ex. $\frac{n!}{p!q!\cdots r!}$ 조합 $\displaystyle _{n}C_{r} = \frac{_{n}P_{r}}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ 서로 다른 n개에서 순서를 무시하고 r개를 택하는 경우의 수 $_{n-1}C_{r-1} + _{n-1}C_{r} = _{n}C_{r}$ $_{r}C_{0} + _{r+1}C..

1. 용어정리 열린계 (open system = flow system) 물질 및 에너지 이동이 가능한 상태 닫힌계 (Closed system = nonflow system) 에너지만 이동이 가능한 상태 정상상태 (Steady state) $\frac{dE}{dt} = 0$ 들어온만큼 나가는 상태 비정상상태 (Unsteady state) $\frac{dE}{dt} \neq 0$ 계속 축적되거나 계속 빠져나가는 상태 열에 대하여 우선 기본적으로 계에 행해지는 모든 것들은 양수로 표현한다. 열 전달은 전도, 대류, 복사의 방식을 사용한다. 대류의 경우 다음과 같이 계산 가능하다. $\dot{Q} = UA(T_{2}-T_{1})$ 열용량은 $C_{V} = \Big(\frac{\partial \hat{U}}{\p..

라플라스 변환의 의의는 복잡한 상미분 방정식을 보조방정식이라는 대수방정식으로 변환하여 간단히 하고 이를 역변환하여 해를 쉽고 빠르게 구하는 것이다. $F(s) = \mathscr{L}(f) = \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)dt$ 라플라스 변환은 선형연산으로 다음 규칙이 성립한다. $\mathscr{L}\{ af(t) + bg(t)\} = a\mathscr{L}\{ f(t)\} + b\mathscr{L}\{ g(t)\}$ 아래는 기본적인 변환들이다. f(t) $\mathscr{L}(f)$ f(t) $\mathscr{L}(f)$ $t^{n}$ $\frac{n!}{s^{n+1}}$ $e^{at}$ $\frac{1}{s-a}$ $\cos{\omega t}$ $\fr..

미분방정식의 수가 많아지면 일반해를 세울 수 있다. 이때 각 함수(기저)들은 1차 독립이어야 1차결합으로 표현 가능하다. 이때 Wronskian W를 사용하면 쉽게 판별할 수 있다. $W(y_{1}, \cdots , y_{n}) = \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} & \cdots & y_{n} \\ y_{1}^{'} & y_{2}^{'} & \cdots & y_{n}^{'} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_{1}^{(n-1)} & y_{2}^{(n-1)} & \cdots & y_{n}^{(n-1)} \end{vmatrix}$ 이 행렬식이 0이 아니라면, 각 함수들은 선형 독립이다. 연립방정식은 행렬로 표현하고, 해를 구할 수 있다. $Ax ..

제차 선형상미분방정식에 대해 중첩의 원리 또는 선형성의 원리가 적용된다. 이는 2계라면, 일반해 y가 y1과 y2의 1차 결합으로 표현된다는 것이다. n계 제차 선형상미분방정식의 경우 해는 $y = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} c_{i}y_{i}$이다. 일차결합 식이 0과 같을 때, 각 계수가 0이어야만 성립한다면 1차 독립이라고 부른다. 이때 yi값들을 기저라고 부른다. 따라서 기저끼리는 비례하지 않는다. 즉, 일반해는 기저의 1차 결합으로 나타낼 수 있다. 2계 제차 선형 상미분 방정식 $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$ 1. 차수 축소 법 (Reduction of order) 한 개의 해를 알고 있을 때 1계 미분방정식을 유도해서 다른 해를 구하는 방법이다. 일반해..

상미분 방정식(Ordinary Differential Equation, ODE)이란, 미지함수의 도함수를 포함하는 방정식이다. 계(Order)란, 방정식에 포함된 도함수 중 제일 미분된 숫자를 의미한다. 미분방정식의 경우 폭넓은 일반해가 있고, 특정 값이 주어지면 정해지는 특수해가 있다. (주로 초기값 문제(Initial Value Problem, IVP)에서 주어진 초기조건으로 특수해를 구한다) 1-1. 변수 분리형 (separable variable) $g(y)y' = f(x)$ 또는 $y' = g(x)h(y)$ 이렇게 표현 가능하면, 각변끼리 적분하면 해가 나온다. $\displaystyle\int g(y)dy = \int f(x)dx + C$ 1-2. 변수 치환 (variable change) $..

물질수지란, 계에 대하여 유입, 유출, 잔여 물질의 양을 계산하는 것을 말한다. 따라서 물질이 자연발생, 소멸하지 않는다면 넣은 만큼 존재한다는 걸 이용한다. 즉, 연립방정식을 풀게 된다. 따라서 문제를 풀 때 다음과 같은 규칙을 두면 편리하다. 1. 문제 상황을 시각화한다. 2. 정보를 기호화해서 표현한다. (기체의 몰분율은 y로, 액체의 몰분율은 x로 표기한다.) 3. basis를 정해서 계산하기 편하게 만든다. 4. 세울 수 있는 (선형)식들을 적어본다. 반응이 없는 경우, 물질에 변화가 없으므로 단순 계산으로 볼 수 있다. 화학반응이 있다면 Feed와 Product, Waste 등이 서로 다르다. (원소 하나하나에 대해서는 반응이 없는 물질 수지와 같이 계산 가능하다.) 화학 반응은 계수비로 반응..

모든 측정에는 그것에 해당하는 차원이 있다. 그리고 해당 차원을 표기하기 위해 단위를 도입한다. 대부분의 단위는 SI 단위계를 이용하고, 이를 통해 유도 단위도 만든다. 하지만 일부 국가에서 AE 단위계를 사용하기 때문에 이에 대한 단위 환산도 필요하다. 그리고 자료들은 보통 비율로 주어진다. 밀도와 같은 단위 부피당 질량, 단위 부피당 몰 밀도의 역수인 비부피(specific volume) 단위 질량당 부피 밀도의 비율인 비중(specific gravity) (주로 분모를 4ºC 물의 밀도로 둔다) 퍼센트(%)와 같이 전체 중 차지하는 양을 나타내기도 한다. 고체, 액체의 경우 mass fraction 기체의 경우 mole fraction 혹은 volume fraction으로 해석된다. 매우 작은 양이..