하늘 보면서 살자구요

수열 수열(sequence)은 말 그대로 정해진 순서대로 쓰여진 수들의 나열이다. 수열 $\{a_{n}\}$에서, 모든 $\epsilon > 0$에 대하여 $n > N$일 때 $|a_{n} - L| < \epsilon$을 만족하는 정수 $N$이 존재할 때, 수열 $\{a_{n}\}$은 극한값 $L$을 갖는다고 하고, 이것을 $\displaystyle\lim_{n→\infty}a_{n} = L$ 또는 $n → \infty$일 때 $a_{n} → L$으로 나타낸다. 수렴하지 않으면 발산이다. 수열의 극한과 함수의 극한의 차이점은 연속성의 차이이다. 참고로 수열 역시 극한법칙이 성립한다. 다음은 몇 가지 유용한 정리이다. $\displaystyle\lim_{n→\infty}|a_{n}| = 0$이면 $\dis..

수직선 판정에 의해 $y = f(x)$ 형태의 방정식으로 표현할 수 없는 곡선의 경우 다른 방식으로 함수를 정의해야 한다. 따라서 $x$와 $y$ 각각에 대해 새로운 변수 $t$(매개변수(parameter))를 도입해 $x = f(t)$, $y = g(t)$같은 매개방정식(혹은 매개변수방정식(parametric equations))으로 표현해야 한다. 많은 응용에서 t는 시각을 나타내고, $(x, y) = (f(t), g(t))$는 시각 t에서 질점 위치로 해석할 수 있다. $y = f(x)$ 형태로 표현할 수 없을 뿐이지, 곡선에 대하여 우리가 이전까지 배웠던 내용을 토대로 다양한 정보를 수집할 수 있다. 접선 $f$와 $g$가 미분가능 함수라면 연쇄법칙에 의해 $\frac{dy}{dt} = \frac..

부피 우리가 흔히 접할 수 있는 원기둥, 직육면체 등의 주면체(cylinder)의 경우 쉽게 부피를 구할 수 있다. 주면체가 아닌 입체의 경우 평면 그래프 상에서의 적분처럼 입체를 작은 조각으로 자른 후 각각의 조각을 주면체로 근사시키고 합해서 부피를 구할 수 있다. 즉, 절단면에 대한 함수식이 있다면 적분과 같은 형태로 부피를 구할 수 있다. $S$는 $x=a$와 $x=b$ 사이에 놓인 입체라고 하자. 만일 점 $x$를 지나고 $x$축에 수직인 평면 $P_{x}$에 있는 $S$의 절단면의 넓이를 $A(x)$라고 하자. 그러면 $S$의 부피는 $V = \displaystyle\lim_{x→\infty} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} A(x_{i}^{*})\Delta x = \displ..

각각의 미분법칙에는 그것에 대응하는 적분법칙이 있다. 예를 들어, 적분에서의 치환법은 미분에서의 연쇄법칙에 대응한다. 부분적분(integration by parts) 곱 법칙에 의하면 $f$와 $g$가 미분가능한 함수일 때 $\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$였다. 이것을 그대로 적분 형태로 바꿔주기만 하면 된다. 그러면 부분적분 공식이 된다. $\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int g(x)f'(x)dx$ 이걸 좀 더 기억하기 쉬운 형태로 바꾸면 $\int udv = uv - \int vdu$이다. 부분적분을 보면 뒤에 적분형태가 남는다. 즉, 부분적분을 이용하는 주된 목적은 원래의 적분보다 더 간단한 적분을 얻는 데 있다. 그러므로..

구분 구적법 우리는 도형의 넓이를 쉽게 구할 수 있다. (직사각형이나 삼각형 등) 도형의 변이 많아질수록 우리는 흔히, 다루기 쉬운 도형들로 쪼개서 계산한다. 이러한 생각이 확장되어 곡선에 대해서도 정확한 넓이를 구하고자 했다. 이것이 구분 구적법의 시초이다. 연속함수에 대해 그래프와 x축 사이 영역의 넓이를 구해보자. 직사각형 넓이의 합으로 구할 것이므로 우선 구간을 n등분한다. ($\Delta x = \frac{b-a}{n}$) 그리고 등분된 부분 구간에 대해 임의의 점 $x_{i}^{*}$에 대한 $f$값을 높이로 설정할 수 있다. 이러한 x값들을 표본점(sample point)이라고 부른다. 표본점을 어떻게 설정하느냐에 따라 $f$가 최솟값이나 최댓값을 가질 수 있다. 보통 왼쪽 끝점에 의해서는 ..

최대, 최소 보통 최적화 문제에서 미분이 주로 응용된다. 주어진 문제에 대한 최적의 방법을 구하는 것으로, 보통 최댓값 또는 최솟값을 구함으로써 해결 가능하다. $c$를 함수 $f$의 정의역 $D$에 있는 어떤 수라 하자. 그러면 $f(c)$는 $D$의 모든 $x$에 대해 $f(c) \ge f(x)$를 만족할 때 $D$에서 $f$의 최댓값(absolute maximum value)이라 한다. 반대의 경우는 최솟값(absolute minimum value)이라 한다. 최대, 최소는 종종 대역적(global) 최대, 최소로 부르기도 한다. (정의역 전체에 대한 크기 비교이기 때문) global이 있다면 당연히 local도 있다. $x$가 $c$ 근방에서 $f(c) \ge f(x)$를 만족할 때 $f(c)$를..

도함수의 정의를 이용하면 무엇이든 도함수를 구할 수 있다. 일반적인 형태는 물론, 상수배, 합, 차의 경우 극한에서처럼 미분가능하다면 $\frac{d}{dx}$를 분배할 수 있다. 곱과 몫의 경우 따로 법칙이 있으며 증분과 라이프니츠 표기법을 이용하여 증명된다. 물론 미분가능하다는 조건이 필요하다. 곱 법칙 : $\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f(x)\frac{d}{dx}[g(x)] + g(x)\frac{d}{dx}[f(x)]$ 몫 법칙 : $\frac{d}{dx}[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{g(x)\frac{d}{dx}[f(x)] - f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x)]^2}$ 지수함수의 경우 도함수를 구해보면 $f'(x)=f'(0)a^x$가 일반적..

곡선의 접선은 곡선과 접하는 직선이다. 접선이란 단어는 '접촉'이란 뜻의 라틴어 tangens에서 유래했다. 유클리드의 정의에서는 원의 한 점만 지나는 직선을 접선이라 칭한다. 하지만 복잡한 곡선에서는 그저 할선(secant line)이 될 뿐이다. 만약 할선의 두 점이 서로 가까워져 한 점으로 볼 수 있게 된다면 우리는 그 선을 접선이라고 봐도 무방하다. 여기서 극한의 개념이 대표적으로 사용된다. 대표적인 문제로는 순간속력(접선의 기울기)과 평균속력(할선의 기울기)이 있다. 함수의 극한 $a$와 같지는 않지만 $a$에 충분히 가까운 $x$를 잡으면 $L$에 얼마든지 가까운 $f(x)$값을 얻을 수 있을 때 $\displaystyle\lim_{x→a} f(x)=L$ 로 나타내고 "$x$가 $a$에 접근할..