3. 에너지 수지

1. 용어정리

열린계
(open system = flow system)
물질 및 에너지 이동이 가능한 상태

 

닫힌계
(Closed system = nonflow system)
에너지만 이동이 가능한 상태

정상상태
(Steady state)
$\frac{dE}{dt} = 0$
들어온만큼 나가는 상태

비정상상태
(Unsteady state)
$\frac{dE}{dt} \neq 0$
계속 축적되거나 계속 빠져나가는 상태

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열에 대하여

우선 기본적으로 계에 행해지는 모든 것들은 양수로 표현한다.
열 전달은 전도, 대류, 복사의 방식을 사용한다.
대류의 경우 다음과 같이 계산 가능하다.
$\dot{Q} = UA(T_{2}-T_{1})$

 

열용량은 $C_{V} = \Big(\frac{\partial \hat{U}}{\partial T}\Big)_{\hat{V}}$로 정의되고
따라서 등적과정에서 내부에너지는 $\displaystyle\int_{T_{1}}^{T_{2}}C_{V}dT$로 계산할 수 있다.

더 나아가서 유사하게 등압과정에서는 엔탈피로 정의가능하다.
$C_{p} = \Big(\frac{\partial \hat{H}}{\partial T}\Big)_{\hat{p}}$, $\Delta\hat{H}\displaystyle\int_{T_{1}}^{T_{2}}C_{p}dT$
특정 분자에 대해 계수가 주어지면 $C_{p}^{o} = a+b(T)+c(T)^{2}+d(T)^{3}$로도 구할 수 있다.

이상기체의 경우 $C_{p} = C_{V} + R$이라는 관계식이 성립하고
거시적으로 두 값이 큰 차이가 없음을 알 수 있다.

열용량을 이용해서 엔탈피 변화도 구할 수 있다.
$\Delta H = mC_{p}\Delta T$

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일반식: $\Delta E = Q + W - \Delta(H + KE + PE)_{flow}$

2. 반응이 없는 경우

*if closed system*
$\Delta(H + KE + PE)_{flow} = 0$

*if steady-state*
$\Delta E = \Delta(U + KE + PE)_{inside} = 0$

 

 

1) Unsteady state, Closed system
$\Delta E = \Delta(U+PE+KE)_{inside} = Q+W$
($Q = \Delta H - \Delta(pV)$ or $\Delta U = \displaystyle\int_{T_{1}}^{T_{2}}C_{V}dT$)

 

2) Steady state, Closed system
$\Delta E = 0$
so $\Delta KE, \Delta PE = 0, \Delta U = Q + W = 0$

3) Steady state, Open system
$Q + W = \Delta(H + PE + KE)_{flow}$

4) Unsteady state, Open system

$\Delta E = Q + W - \Delta(H + KE + PE)_{flow}$

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3. 반응이 있는 경우

반응이 있기 때문에 반응에 대하여
흡열과 발열이 정해지고
이는 엔탈피($Q = \Delta H_{rxn}^{o}$)를 통해 구할 수 있다.

$\Delta\hat{H}_{rxn}^{o} = \displaystyle\sum_{i}^{Products} \nu_{i}\Delta\hat{H}_{f, i}^{o} - \sum_{i}^{Reactants} \nu_{i}\Delta\hat{H}_{f, i}^{o}$

(정상상태 흐름계에서는)
$\Delta\hat{H}_{rxn} = \displaystyle\sum_{i}^{Flow out} (n_{i}^{in} + \nu_{i}\xi)\Delta\hat{H}_{f, i}^{o} - \sum_{i}^{Flow in} (n_{i}^{in})\Delta\hat{H}_{f, i}^{o} = \xi\sum\nu_{i}\Delta\hat{H}_{f, i}^{o} = \xi\Delta\hat{H}_{rxn}^{o}$
여기서 반응진행도는 한계반응물의 전화율(반응한 분율 $f = \frac{n^{in} - n^{out}}{n^{in}}$)을 이용하여
$\xi = \frac{(-f)×n^{in}}{\nu}$로 구할 수 있다.

$\xi_{max} = \frac{-n_{i}^{in}}{\nu_{i}}$가 작은 값인 한계반응물을 구할 수 있고,
$f = \frac{\xi}{\xi_{max}}$로도 전화율을 구할 수 있다.


(연소반응에서는)
생성엔탈피가 아닌 표준 연소열을 이용한다.
이때 산화 생성물과 산소 자체의 $\Delta\hat{H}_{c}^{o}$는 0으로 정한다.
따라서 $\Delta\hat{H}_{rxn}^{o} = -\Big(\displaystyle\sum_{i}^{Products} \nu_{i}\Delta\hat{H}_{c, i}^{o} - \sum_{i}^{Reactants} \nu_{i}\Delta\hat{H}_{c, i}^{o}\Big)$가 된다.

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4. 시간 term 추가 (Unsteady-state)

$\Delta E = Q + W - \Delta(H + KE + PE)$
를 시간에 대해 미분한 식이 유도된다.

$\frac{d(E)}{dt} = \dot{Q} + \dot{W} + \dot{B} - \Delta\Big[\Big(\hat{H} + \frac{v^{2}}{2} + gh\Big) \dot{m}\Big]$
여기서 B는 다른 경계를 통한 수송을 나타낸다.

시간에 따른 물질수지는 다음과 같다.
$\frac{d(\rho V)}{dt} = -\Delta(\rho vS) + \dot{w}$
v는 선속도, S는 단면적, w는 다른 경계를 통한 수송을 나타낸다.