하늘 보면서 살자구요

아마 많은 이공계 혹은 수학을 다루는 전공의 학생들은 1학년 때 미분적분학을 이수하게 될 것이다. 전반적인 내용은 고등교육 과정에서 배운 내용과 크게 다르지 않다. 물론 복습의 의미도 있겠지만, 나는 조금 다른 측면도 있다고 생각한다. 고등교육 과정에서 성적을 위한 공부를 했다면 대학과정에서는 개념의 확장을 위해 다시 되짚어본다. 대표적으로 미분의 경우 근사식과 편미분으로, 적분의 경우 이상적분과 더 복잡한 형태의 적분을 위해 '정의'와 '정리'를 다시 한번 살펴보게 된다. 누군가에게는 그저 미분하고 적분을 위한 '계산법'을 배우는 시간일지 몰라도 결과적으로 미분적분학을 통해 더 다양하고 복잡한 함수들을 표현하고, 분석할 수 있게 된다. 그리고 이후 2, 3, 4학년 과정에서는 이 내용을 기본으로 계속 ..

벡터장 $D$를 $\mathbb{R}^{2}$(평면 영역)의 부분집합이라 하자. $\mathbb{R}^{2}$상의 벡터장(vector field)은 $D$에 속하는 각각의 점 $(x, y)$에 대하여, 이차원 벡터 $\mathbf{F}(x, y)$를 대응시키는 함수 $\mathbf{F}$이다. 삼차원 공간으로 확장시킬 수 있다. 벡터함수는 당연히 성분함수를 가지고 있고 이는 스칼라함수들이며 벡터장과 구분하기 위하여 스칼라장(scalar field)이라 부른다. $f$가 두 변수의 스칼라함수이면 기울기 $\nabla f(x, y) = f_{x}(x, y)\mathbf{i} + f_{y}(x, y)\mathbf{j}$임을 안다. 따라서 $\nabla f$는 실로 $\mathbb{R}^{2}$상의 벡터장이며 ..

다변수함수 이변수함수(function of two variables) $f$는 집합 $D$의 실수의 각 순서쌍 $(x, y)$에 단 하나의 실수를 대응시키는 규칙으로 $f(x, y)$와 같이 나타낸다. 집합 $D$는 $f$의 정의역(domain)이고 치역(range)은 $f$가 취하는 실수값들의 집합이다. 즉 $\{ f(x, y) | (x, y) \in D \}$이다. 일반적인 점 $(x, y)$에서 $f$에 의해 정해진 값을 명확히 표시하기 위해 종종 $z=f(x, y)$로 쓴다. 변수 $x$와 $y$는 독립변수이고 $z$는 종속변수이다. $f$가 정의역이 $D$인 이변수함수이면, $f$의 그래프(graph)는 $\mathbb{R}^{3}$에서 $(x, y) \in D$이고 $z=f(x, y)$인 모든..

벡터함수와 공간곡선 벡터함수(vector function)는 그 정의역이 실수의 집합이고, 치역이 벡터의 집합인 함수이다. 이 벡터의 성분은 성분함수(component functions)라 불리는 실수값 함수다. $\mathbf{r}(t) = = f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j} + h(t)\mathbf{k}$ 벡터함수의 극한은 성분함수들의 극한을 취함으로써 정의된다. $\mathbf{r}(t) = $일 때, 각 성분함수의 극한이 존재하면 다음이 성립한다. $\displaystyle\lim_{t→a}\mathbf{r}(t) = $ 벡터함수는 $\displaystyle\lim_{t→a}\mathbf{r}(t)= \mathbf{r}(a)$를 만족할 때, $a$에서 연속(continuo..

수열 수열(sequence)은 말 그대로 정해진 순서대로 쓰여진 수들의 나열이다. 수열 $\{a_{n}\}$에서, 모든 $\epsilon > 0$에 대하여 $n > N$일 때 $|a_{n} - L| < \epsilon$을 만족하는 정수 $N$이 존재할 때, 수열 $\{a_{n}\}$은 극한값 $L$을 갖는다고 하고, 이것을 $\displaystyle\lim_{n→\infty}a_{n} = L$ 또는 $n → \infty$일 때 $a_{n} → L$으로 나타낸다. 수렴하지 않으면 발산이다. 수열의 극한과 함수의 극한의 차이점은 연속성의 차이이다. 참고로 수열 역시 극한법칙이 성립한다. 다음은 몇 가지 유용한 정리이다. $\displaystyle\lim_{n→\infty}|a_{n}| = 0$이면 $\dis..

수직선 판정에 의해 $y = f(x)$ 형태의 방정식으로 표현할 수 없는 곡선의 경우 다른 방식으로 함수를 정의해야 한다. 따라서 $x$와 $y$ 각각에 대해 새로운 변수 $t$(매개변수(parameter))를 도입해 $x = f(t)$, $y = g(t)$같은 매개방정식(혹은 매개변수방정식(parametric equations))으로 표현해야 한다. 많은 응용에서 t는 시각을 나타내고, $(x, y) = (f(t), g(t))$는 시각 t에서 질점 위치로 해석할 수 있다. $y = f(x)$ 형태로 표현할 수 없을 뿐이지, 곡선에 대하여 우리가 이전까지 배웠던 내용을 토대로 다양한 정보를 수집할 수 있다. 접선 $f$와 $g$가 미분가능 함수라면 연쇄법칙에 의해 $\frac{dy}{dt} = \frac..

부피 우리가 흔히 접할 수 있는 원기둥, 직육면체 등의 주면체(cylinder)의 경우 쉽게 부피를 구할 수 있다. 주면체가 아닌 입체의 경우 평면 그래프 상에서의 적분처럼 입체를 작은 조각으로 자른 후 각각의 조각을 주면체로 근사시키고 합해서 부피를 구할 수 있다. 즉, 절단면에 대한 함수식이 있다면 적분과 같은 형태로 부피를 구할 수 있다. $S$는 $x=a$와 $x=b$ 사이에 놓인 입체라고 하자. 만일 점 $x$를 지나고 $x$축에 수직인 평면 $P_{x}$에 있는 $S$의 절단면의 넓이를 $A(x)$라고 하자. 그러면 $S$의 부피는 $V = \displaystyle\lim_{x→\infty} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} A(x_{i}^{*})\Delta x = \displ..

각각의 미분법칙에는 그것에 대응하는 적분법칙이 있다. 예를 들어, 적분에서의 치환법은 미분에서의 연쇄법칙에 대응한다. 부분적분(integration by parts) 곱 법칙에 의하면 $f$와 $g$가 미분가능한 함수일 때 $\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$였다. 이것을 그대로 적분 형태로 바꿔주기만 하면 된다. 그러면 부분적분 공식이 된다. $\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int g(x)f'(x)dx$ 이걸 좀 더 기억하기 쉬운 형태로 바꾸면 $\int udv = uv - \int vdu$이다. 부분적분을 보면 뒤에 적분형태가 남는다. 즉, 부분적분을 이용하는 주된 목적은 원래의 적분보다 더 간단한 적분을 얻는 데 있다. 그러므로..