전위와 전기적 포텐셜 에너지

전기력은 결국 힘이기에 일을 할 수 있고 결과적으로 전기적 포텐셜 에너지를 정의할 수 있다.

$\vec{F}_{E}=q\vec{E}$

$W_{E}=\displaystyle\int_{A}^{B}\vec{F}_{E}·d\vec{s}$

$\displaystyle\Delta U_{E}=-W_{E}=-q\int_{ref}^{r}\vec{E}·d\vec{r}=U_{E}(r)$

 

이 적분을 통해 전기력은 보존력으로 경로에 무관함을 알 수 있다.

따라서 이 위치 에너지를 전하로 나누면 원천 전하의 분포에만 의존하는 물리량인 전기장 내의 각 점에서 한 개의 값을 갖는 전위(V)를 얻을 수 있다.

$V \displaystyle\equiv \frac{U_{E}}{q}=-\int_{ref}^{r}\vec{E}·d\vec{s}$

 

전기적 위치 에너지와 전위는 단지 차이에만 의미가 있다.

따라서 전기장 내의 어떤 편리한 지점의 전위를 0으로 취할 수 있다.

 

하지만 전위차는 단지 원천 전하에 의하여 생긴 것이고 원천 전하의 분포에 의존한다.

반면 전기적 위치 에너지가 존재하기 위해서는 둘 이상의 전하로 구성된 계가 있어야 한다.

(한 전하가 계의 다른 부분에 대하여 움직일 때만 변한다) (전하-전기장 계)

 

계 내에서 외력에 의하여 전하가 움직인다면 전기적 위치 에너지가 변화된다.

$W = \Delta U_{E} = q\Delta V$

 

전위의 단위: $1V \equiv 1J/C = 1N·m/C$

전기장의 단위: $N/C = V/m$

이를 통해 전기장은 위치에 따라서 전위가 변화하는 비율의 척도라고 해석할 수 있다.

 

균일한 전기장에서의 전위차

양전하가 전기장과 같은 방향으로 움직였다고 하자.

$\Delta V = -\int_{A}^{B} \vec{E}·d\vec{s} = -\int_{A}^{B}E\;ds\;(\cos{0^{\circ}}) = -Ed$

 

음의 부호는 A보다 B의 전위가 더 낮다는 것을 의미한다.

즉, 전기력선은 항상 전위가 감소하는 방향으로 향한다.

또한 내적으로 계산되므로, 전기장 벡터와 수직인 위치에 대해서는 전위가 모두 같다.

$\Delta U_{E} = q\Delta V = -q\vec{E}·\vec{s}$

 

점전하에 의한 전위와 전기적 포텐셜 에너지

점전하에 의한 전기장은 거리에 의존한다.

$\vec{E} = k_{e}\frac{q}{r^{2}}\hat{r}$

(여기서 $\hat{r}$은 지름 방향으로 바깥을 향하는 단위 벡터)

 

$V_{B}-V_{A}=-k_{e}q\displaystyle\int_{r_{A}}^{r_{B}}\frac{dr}{r^{2}}=k_{e}q\Bigg[ \frac{1}{r_{B}} - \frac{1}{r_{A}} \Bigg]$

 

이를 통해 점전하에 의한 전기장은 보존력장임을 보여준다.

 

만약 초기 위치(반경)를 무한대, 초기 전위 = 0인 지점으로 기준을 잡으면 거리에 따른 전위를 일반화할 수 있다.

$V = k_{e}\frac{q}{r}$

 

이를 통해 점전하군에 의한 지점에서의 전체 전위는 다음과 같다.

$V = k_{e}\displaystyle\sum_{i}\frac{q_{i}}{r_{i}}$

 

여러 점전하는 서로 상호작용하므로 전기적 포텐셜 에너지가 생긴다.

여러 점전하에 대한 한 점전하의 전위는 다음과 같다.

$V_{i} = k_{e}\displaystyle\sum_{j} \frac{q_{i}}{r_{ij}}$

 

이를 이용해 계의 전체 전기적 포텐셜 에너지는 다음과 같다.

$U_{system} = k_{e}\displaystyle\sum_{i<j} \frac{q_{i}q_{j}}{r_{ij}}$

 

 

(정의에 따라 전위를 음의 부호로 편미분하면 전기장 성분을 구할 수 있다)

$\vec{E} = -\displaystyle\nabla V = -\Bigg( \hat{i}\frac{\partial}{\partial x}+\hat{j}\frac{\partial}{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial}{\partial z}\Bigg) V$

 

연속적인 전하 분포에 의한 전위

점전하군에서는 $\sum$을 이용했다.

연속 분포에서는 $\int$을 이용한다.

$V = k_{e} \displaystyle\int \frac{dq}{r}$

(이 식에서 전위가 0이 되는 기준점은 무한히 먼 곳이다)

 

만약 전하가 대칭적으로 분포되어 있다면(가우스 면),

가우스 법칙을 이용해 전기장 벡터를 구한 후,

$\displaystyle\Delta V \equiv \frac{\Delta U_{E}}{q} - \int_{A}^{B}\vec{E}·d\vec{s}$에  대입하여 두 점 사이의 전위차를 구한다.

이후 편리한 위치를 기준점으로 택하여 전위를 0이 되게 해 전위를 계산한다.

 

정전기적 평형 상태의 도체

도체는 자유전자를 가지고 있지만, 이들 전하의 알짜 운동이 없다면 정전기적 평형 상태에 있다고 한다.

 

<특징>

• 도체 내부가 차 있거나 비어 있거나 상관 없이, 도체 내부의 어느 위치에서나 전기장은 0이다.
  (전자의 운동이 없다)
• 고립된 도체에 생긴 과잉 전하는 도체 표면에 존재한다.
  (내부의 알짜 전기선속이 0이므로, 내부에 전하가 없다는 의미)
• 대전되어 있는 도체 표면 바로 바깥의 전기장은 도체 표면에 수직이고 크기는 $\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}$이다. 여기서 $\sigma$는 그 지점에서의 표면 전하 밀도이다.
• 모양이 불규칙한 도체의 경우, 표면 전하 밀도는 뾰족한 점에서 가장 크다.
  구의 경우, 반지름이 작을 때 표면 전하 밀도가 커져서 전기장이 강하다.

 

속이 빈 형태의 도체는 특별히 빈 공간 내부의 전기장이 항상 0이다.

이 현상은 패러데이 상자에 이용된다.