축전기

축전기란 크기가 같고 부호가 반대인 전하로 대전된 두 도체(평행판)를 이용해 전하를 저장하는 장치를 말한다.

이로 인해 축전기는 전위차가 존재하며 전하량에 비례한다.

 

전기용량이란 단위 전위차당 축전기가 저장할 수 있는 전하량(양전하로 생각)이다. (항상 양수)

$C\equiv\frac{Q}{\Delta V}$

단위: $F=C/V$

(최종적으로 축전기의 전위차는 전지 양단의 전위차와 같아진다)

 

전기용량의 계산

<고립된 대전 구의 전기 용량>

반지름이 a이고, 표면에만 (양)전하가 존재하는 도체 구를 생각하자.

$\Delta V = -\displaystyle\int_{\infty}^{a}\vec{E}·d\vec{r}=\frac{k_{e}Q}{a} > 0$

$C=\frac{Q}{\Delta V} = 4\pi \epsilon_{0}a$

즉, 고립된 대전 구의 전기용량은 반지름에 비례하며, 구 상에서의 전하량과 전위에 의존하지 않는다. 단지 판의 기하학적인 모양에 의존할 것이다.

 

<평행판 축전기에서의 전기용량>

거리가 d만큼 떨어진 두 도체판을 생각하자.

$\Delta V = -\displaystyle\int_{d}^{0}\vec{E}·d\vec{r}=-\int_{d}^{0}\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}];dr= \frac{Qd}{\epsilon_{0}A}>0$

$C=\frac{Q}{\Delta V} = \frac{\epsilon_{0}A}{d}$

즉, 판의 넓이에 비례하고 판 사이 간격에 반비례한다.

 

판 사이 거리가 짧아지면, 전위차 크기($\Delta V = Ed$) 역시 작아진다.

이는 축전기 전압과 전지의 단자 전압의 차이를 야기하고 두 도선 사이의 전위차로 나타난다.

결국 도선에 전기장이 생겨서 두 판에 전하가 더 모이게 되고 판 사이의 전위차는 다시 증가한다.

결국 판 사이의 전위차는 전지의 전위차와 같아져야 전하의 움직임이 멈춘다.

 

축전기 회로 연결

<병렬 연결>

축전기의 양 판이 그대로 전지와 연결되어 있다면 전위차는 전지와 동일하다.

$\Delta V_{1} = \Delta V_{2} = \Delta V$

전지를 연결하면, 축전기는 곧바로 최대 전하량에 도달한다.

$Q_{tot} = Q_{1} + Q_{2} = C_{1}\Delta V_{1} + C_{2}\Delta V_{2}$

$=(C_{1}+C_{2})\Delta V = C_{eq}\Delta V$

즉, 전지에 병렬 연결된 두 축전기는 등가 전기용량을 보인다.

(등가 전기용량은 어떤 개별 전기용량보다 커진다.)

 

<직렬 연결>

전지에 직렬로 연결된 축전기는 대전에 의해 저장된 전하량이 서로 같다.

$Q_{1} = Q_{2} = Q$

전체 전압은 각각의 전압의 합으로 기술된다. ($\Delta V_{tot} = \Delta V_{1} + \Delta V_{2} = \frac{Q_{1}}{C_{1}}+\frac{Q_{2}}{C_{2}}$)

 

회로의 전기용량의 정의를 적용하면 $\Delta V_{tot} = \frac{Q}{C_{eq}}=\frac{Q_{1}}{C_{1}}+\frac{Q_{2}}{C_{2}}$이므로

결과적으로 직렬 연결된 경우의 등가 전기용량을 알 수 있다.

$\displaystyle\frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}$

(등가 전기용량의 크기는 임의의 한 축전기보다 항상 작아진다.)

 

충전된 축전기에 저장된 에너지

저장된 포텐셜 에너지는 축전기를 충전시키는데 필요한 전체 일로 기술된다.

따라서 에너지에 대한 비고립계 모형으로 설명되며 $W=\Delta U_{E}$가 된다.

 

$W = q\Delta V$이므로 $dW = \Delta V dq = \frac{q}{C}dq$

$W = \displaystyle\int dW = \int_{0}^{Q}\frac{q}{C}dq = \frac{Q^{2}}{2C}$

$W=\Delta U_{E} = \frac{1}{2}Q\Delta V = \frac{1}{2}C(\Delta V)^{2}$

 

이 식은 축전기의 기하학적인 형태에 관계없이 모든 축전기에 적용된다.

하지만 전위차가 계속 커지면 축전기판 사이에서 방전이 일어나므로 한계 값을 가진다.

(최대 허용 전압)

 

축전기가 충전되면 축전기 내부에 전기장이 형성되는데, 저장된 에너지는 전기장의 형태로 저장된다고 할 수 있다.

 

평행판에 대해 $\Delta V = Ed$, $C = \epsilon_{0}A/d$이므로

$U_{E} = \displaystyle\frac{1}{2}\Bigg(\frac{\epsilon_{0}A}{d}\Bigg)\;(Ed)^{2}=\frac{1}{2}(\epsilon_{0}Ad)E^{2}$

 

따라서 퍼텐셜 에너지는 전기장이 차지하고 있는 부피와 관련되어 다음과 같이 에너지 밀도를 정의한다.

$u_{E} = \frac{U_{E}}{Ad} = \frac{1}{2}\epsilon_{0}E^{2}$

(에너지 밀도는 전기장이 결정한다.)