유체역학

유체란, 입자들의 약한 응집력이나 용기의 벽에 의해 작용하는 힘에 의해 느슨하게 결합된 입자계로 액체와 기체는 유체이다.

액체는 비압축성이고 부피가 일정한 반면, 기체는 압축성이고 부피가 일정하지 않다.

미시적 관점이 아닌 거시적 관점으로 파악할 것이기에, 질량은 밀도로, 흐름은 속도로 그리고 압력을 이용한다.

 

유체의 압력

유체의 압력은 단위 면적당 수직힘으로 정의한다. ($P = \frac{F}{A}$)

 

유체는 평형 상태에 있으므로 그에 작용하는 알짜힘은 0이다.

이를 이용하면 기준 압력인 위치로부터 깊이가 h인 지점의 압력을 계산할 수 있다.

 

들어 올리는 힘 - 위에서 누르는 힘 - 중력 = 0

$\sum\vec{F}=PA\hat{j}-P_{0}A\hat{j}-Mg\hat{j}=0$

$P=P_{0}+\rho gh$

 

유체에 의한 압력은 깊이와 $P_{0}$의 값에 따라 달라지므로,

유체 표면에 압력을 증가시키면 압력은 유체 내부의 각 점에 똑같이 전달된다.

이 것을 파스칼 법칙이라 한다.

 

토리첼리는 수은 기압계를 이용해 대기압 $P_{0}=\rho_{Hg}gh=1.013 × 10^{5} Pa$이고, 1기압일 때 수은 기둥의 높이 0.760m임을 밝혔다.

 

열린 관 압력계를 통해 $P=P_{0}+\rho gh$임을 알 수 있고, 여기서 $P$를 절대 압력, $P-P_{0}$를 계기 압력이라 한다.

예를 들어 자전거 바퀴에서 측정하는 압력은 계기 압력으로, 타이어 내부 공기의 절대 압력과 외부 대기압의 차이를 나타낸다.

 

부력과 아르키메데스의 원리

아르키메데스의 원리:

부력이란 물체가 밀어낸 유체 양의 무게이다. ($B=M_{fluid}g=\rho_{fluid}Vg$)

 

1. 완전히 잠긴 물체

완전히 잠긴 물체는 정지하거나 뜨거나 가라앉는다.

즉, 부력이 무게보다 크다면 떠오르고 이는 유체의 밀도가 물체의 밀도보다 크다는 것을 의미한다.

$\sum\vec{F}=\vec{F}_{g} + \vec{B}$

$=-\rho_{obj}V_{obj}g + \rho_{fluid}V_{obj}g$

 

2. 떠 있는 물체

우선 떠 있을려면 물체의 밀도보다 유체의 밀도가 더 크다.

하지만 완전히 잠겼을 때와 달리, 물체의 무게는 동일하지만 잠긴 양이 달라졌다.

$\sum\vec{F}=\vec{B}-\vec{F}_{g}=\rho_{fluid}V_{disp}g-\rho_{obj}V_{obj}g=0$

 

$\displaystyle\frac{V_{disp}}{V_{obj}}=\frac{\rho_{obj}}{\rho_{obj}}$

 

즉, 떠 있는 물체의 전체 부피 중 유체 표면 아래쪽의 부피가 차지하는 비율은 유체 밀도에 대한 물체 밀도의 비율과 같다.

 

유체 동역학

실제 유체는 복잡하게 운동하므로 이상 유체를 정의하자.

1. 점성이 없다. (상호 간 저항력이 없어 내부 에너지 소모가 없다.)
2. 층흐름 (각 입자가 매끄러운 경로로 이동하여 경로가 서로 교차되지 않는다. 한 지점에서 속도는 일정하다.)
3. 비압축성 (유체의 밀도가 모든 부분에서 일정하다.)
4. 비회전성 흐름 (병진 운동만 다룬다.)

 

이상 유체에 대해 같은 시간 간격 동안 해당 지점을 통과하는 유체의 질량이 같아야 한다.

$m_{1}=m_{2}$ 또는 $\rho A_{1}v_{1}\Delta t = \rho A_{2}v_{2}\Delta t$

따라서 $A_{1}v_{1} = A_{2}v_{2} = 일정$

이 식을 유체의 연속 방정식이라고 한다.

즉, 관이 좁은 곳에서는 유체의 속력이 빠르고, 관이 넓은 곳에서는 느리다.

 

부피/시간 차원을 갖는 곱 $Av$를 부피 선속 또는 흐름률이라고 한다. (m³/s)

흐름률이 일정하다는 조건은 유체가 중간에서 새나가지 않는다고 가정할 때,

동일한 시간 간격 동안 관 한쪽을 통해 들어오는 유체의 양과 흘러 나가는 유체의 양이 같다는 것이다.

이때 dt 동안 흐른 유체의 양은 유체의 밀도 $\rho$만 곱해주면 된다. (kg/s)

 

베르누이 방정식

연속 방정식을 통해 유체에 대한 일-에너지 관계를 설명하는 식이라고 생각하면 쉽다.

유체의 속력과 압력, 고도 사이의 관계식이다.

 

시간 간격 동안 유체가 이동하여 하게된 일은 $W = F\Delta x=PA\Delta x = PV$로 정의된다.

이 일의 일부는 유체의 운동 에너지를 변화시키고, 남은 일부는 유체-지구 계의 중력 퍼텐셜 에너지를 변화시킨다.

(비고립계의 경우 $\Delta K + \Delta U_{g} = W$)

 

이 식을 풀어서 정리해보면, 결국 각 지점에 대한 등식이 나온다.

$P_{1} + \frac{1}{2}\rho v_{1}^{2} + \rho gy_{1} = P_{2} + \frac{1}{2}\rho v^{2} + \rho gy_{2}$

즉, $P + \frac{1}{2}\rho v^{2} + \rho gy = 일정$

이 식이 이상 유체에 적용되는 베르누이 방정식이다.

유체의 속력이 증가하면 유체의 압력이 줄어들고, 고도가 높아지면 압력이 낮아짐을 보여준다.(같은 높이)

(같은 속력이라면(속력=0) 파스칼 법칙 식이 나온다.)