고정축 회전

병진 운동에서는 크기를 무시하고 질량만 있는 입자 모형으로 풀이했다.

회전 운동에서는 크기와 모양이 변하지 않는 강체 모형을 이용한다.

 

고정축은 강체에 고정되어 있거나 / 회전 축의 방향이 일정한 것으로 나눌 수 있다.

(시계 방향을 (-), 반시계 방향을 (+))

 

각도는 반지름 당 호의 길이의 비로 정의한다. ($\theta = \frac{s}{r}$)

($\theta (rad) = \frac{\pi}{180^{\circ}}\theta (deg)$)

강체에 고정된 기준선은 각변위 $\Delta \theta$만큼 돌아간다.

 

강체의 각변위를 시간 간격으로 나눈 비율을 각속도로 정의한다. ($\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$)

각속도 벡터의 방향은 오른손 법칙을 따른다.

각가속도의 경우, 각속력이 시간에 따라 증가하면 각속도와 같은 방향이고, 감소하면 반대 방향이다.

 

가속도가 일정한 회전 운동과 병진 운동의 운동학 식

각가속도가 일정한 강체	등가속도 운동하는 입자
$\omega_{f}=\omega_{i}+\alpha t$	$v_{f}=v_{i}+at$
$\theta_{f}=\theta_{i}+\omega_{i}t+\frac{1}{2}\alpha t^{2}$	$x_{f}=x_{i}+v_{i}t+\frac{1}{2}at^{2}$
$\omega_{f}^{2}=\omega_{i}^{2}+2\alpha(\theta_{f}-\theta_{i})$	$v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2\alpha(x_{f}-x_{i})$
$\theta_{f}=\theta_{i}+\frac{1}{2}(\omega_{i}+\omega_{f})t$	$x_{f}=x_{i}+\frac{1}{2}(v_{i}+v_{f})t$

 

회전 운동과 병진 운동의 물리량

병진 속도 벡터는 접선 속도로, $v=\frac{ds}{dt}=r\omega$이다.

회전체 내에 있는 한 점의 접선 속력이 회전 중심에서 멀어질수록 커진다.

이 식을 미분하면 접선 가속도와 각가속도 사이의 관계를 알 수 있다. ($a_{t} = r\alpha$)

 

또한 원형 경로를 따라 회전하고 있는 한 점은 회전 중심을 향하는 지름 가속도, 구심가속도를 갖는다.

$a_{c} = \frac{v^{2}}{r} = r\omega^{2}$

 

이 점에서 전체 가속도 벡터는 벡터합으로 표현할 수 있고 크기는 다음과 같다.

$a=\sqrt{a_{t}^{2}+a_{c}^{2}}=r\sqrt{\alpha^{2}+\omega^{4}}$

 

돌림힘

어떤 축에 대하여 회전하는 물체의 변화 원인을 돌림힘이라고 하는 벡터양으로 측정한다.

$\tau = rF\sin\phi = Fd$

여기서 r은 회전축과 힘의 작용점 사이의 거리

d는 회전축과 힘의 작용선 사이의 수직 거리(힘의 모멘트 팔)

 

돌림힘 역시 알짜힘과 마찬가지로 합력으로 운동이 결정된다.

 

분석 모형 : 알짜 돌림힘을 받는 강체

접선 방향의 알짜힘에 대하여 돌림힘을 정리하면 다음과 같다.

$\sum\tau = \sum F_{t}r = (ma_{t})r = (mr\alpha)r = I\alpha$

 

즉 입자에 작용하는 알짜 돌림힘은 각가속도에 비례한다.

또한, 강체 내의 각 입자는 서로 다른 접선 병진 각속도를 갖더라도 모두 같은 각가속도를 갖는다.

$\sum \tau_{ext} = I\alpha$

 

여기서 I는 관성 모멘트라고 하며, 물체를 구성하는 입자들의 질량과 회전축으로부터의 거리에 의존한다.

여러 가지 모양의 균일한 강체의 관성 모멘트

관성 모멘트 계산

일반적으로 관성 모멘트를 계산할 때, 질량 요소보다는 부피 요소를 사용하기에 밀도를 이용한다.

$I = \int r^{2}\;dm = \int \rho r^{2}\; dV$

 

부피 질량 밀도 이외에도, 표면 질량 밀도나 선질량 밀도를 사용하기도 한다.

 

임의의 축에 대한 관성 모멘트의 계산은 다소 복잡하다.

따라서 질량 중심 좌표를 이용한 평행축 정리를 사용하여 쉽게 계산한다.

 

질량 중심을 축으로 한다면 $I=\int (r')^{2}\; dm=\int [(x')^{2}+(y')^{2}]\; dm$이 된다.

여기서 새로운 축을 잡으면 x'=x+x'_CM이라 한다면, $I=I_{CM}+MD^{2}$이 된다.

 

평행축 정리를 사용하면, 중심축에 평행한 모든 축에 대하여 질량 M인 물체의 관성 모멘트는 중심축에 대한 관성 모멘트와 MD²을 더하여 계싼할 수 있다. (여기서 D는 두 축 사이의 수직 거리)

 

운동 에너지 식에 속도로 각속도를 넣으면 회전 운동 에너지가 유도된다.

회전 운동 에너지도 평행축 정리와 비슷하게 식이 나온다.

$K = K_{CM} + K_{rel} = \frac{1}{2}MV_{CM}^{2} + \frac{1}{2}I_{CM}\omega^{2}$

즉, 회전축에 대해 질량 중심에서의 회전 운동 에너지와 질량중심에 대한 강체 구성요소의 상대적 회전 에너지를 합해야 한다.

고정축에 대한 회전 운동	병진 운동
각속력 $\omega = d\theta / dt$	병진 속력 $v=dx/dt$
각가속도 $\alpha = d\omega /dt$	병진 가속도 $a=dv/dt$
알짜 돌림힘 $\sum\tau_{ext}=I\alpha$	알짜힘 $\sum F=ma$
일 $W = \int_{\theta_{i}}^{\theta_{f}}\tau\; d \theta$	일 $W = \int_{x_{i}}^{x_{f}}F_{x}\; dx$
회전 운동 에너지 $K_{R} = \frac{1}{2}I\omega^{2}$	병진 운동 에너지 $K = \frac{1}{2}mv^{2}$
일률 $P=\tau\omega$	일률 $P=Fv$
각운동량 $L=I\omega$	선운동량 $p=mv$
알짜 돌림힘 $\sum \tau = dL/dt$	알짜힘 $\sum F=dp/dt$

 

강체의 굴림 운동

미끄러짐 없이 구르는 운동을 순수 굴림 운동이라고 한다.

순수 굴림 운동은 순수 회전 운동과 순수 병진 운동을 합한 결과이다.

즉, 접선 속도는 $v_{CM} + R\omega = 2v_{CM}$이 되고, 면과 접하는 곳의 병진 속력은 0이 된다.

따라서 접하는 곳이 새로운 회전축이 된다.

그러므로 전체 운동 에너지는 평행축 정리를 적용해 다음과 같은 식이 된다.

$K = \frac{1}{2}I_{CM}\omega^{2} + \frac{1}{2}Mv_{CM}^{2}$