선운동량과 충돌

작용-반작용 쌍의 합은 0이다.

여기서 가속도를 속도의 미분으로 생각하고 묶으면, mv의 시간에 대한 도함수가 0이라는 의미이다.

따라서 이 둘의 합은 임의의 시간 간격 동안 일정해야 한다.

이 논의로부터 고립된 입자계에서 각 입자에 대한 이들의 합이 보존된다는 뜻이다.

 

속도 $\vec{v}$로 움직이는 질량 m인 입자 또는 물체의 선운동량은 질량과 속도의 곱으로 정의된다. ($\vec{p}$)

$\sum \vec{F} = \frac{d(m\vec{v})}{dt} = \frac{d\vec{p}}{dt}$

입자의 선운동량의 시간 변화율이 그 입자에 작용하는 알짜힘과 같다.

이 식은 2법칙과 달리 질량이 변하는 현상에도 적용할 수 있다.

 

분석 모형 : 고립계 (운동량)

운동량의 정의를 사용하면 전체 운동량의 시간에 대한 도함수가 0이므로, 전체 운동량은 일정해야 한다.

$\Delta \vec{p}_{tot}=0$

따라서 고립계의 전체 운동량은 항상 처음 운동량과 같다.

(유일한 요건은 작용하는 힘들이 계의 내부에 있어야 한다는 것(고립계에는 외력이 없다))

그러므로 내력(보존 & 비보존)만 있으면 되고, 비보존력이 0이라면 역학적 에너지가 보존됨을 이용할 수 있다.

 

분석 모형 : 비고립계 (운동량)

운동량 관점에서 환경으로부터 알짜힘이 계에 주어진 시간 간격 동안 작용하면 비고립계이다.

$d\vec{p} = \sum \vec{F}\; dt$

$\Delta \vec{p} = \int_{t_{i}}^{t_{f}}\sum\vec{F}\; dt$

$\equiv \vec{I}$

짧은 시간 간격 동안 입자에 작용한 알짜힘의 충격량이라 한다.

충격량 벡터의 방향은 운동량 변화의 방향과 같다.

충격량은 입자 자체의 성질이 아니고, 외력이 입자의 운동량을 변화시키는 정도를 나타내는 양이다.

 

입자에 충격량을 가하는 알짜힘은 일반적으로 시간에 따라 변하기 때문에, 시간에 대한 평균 알짜힘을 정의하는 것이 편리하다.

$\vec{I} = (\sum\vec{F})_{avg}\Delta t$

알짜힘이 일정하다면 모든 알짜힘이 평균과 같으므로, 이렇게 나온 식이 충격량-운동량 정리가 된다.

(입자의 운동량 변화는 입자에 작용하는 알짜힘의 충격량과 같다.) = 운동량 보존

 

일차원 충돌 = 정면 충돌

고립계에서는 충돌이 보존된다. ($\Delta \vec{p} = 0$)

탄성 충돌이란, 전체 운동 에너지와 전체 운동량이 충돌 전과 후가 같은 충돌이다.

비탄성 충돌은 계의 운동량이 보존되더라도, 계의 전체 운동 에너지가 전과 후가 다른 경우이다.

일반적인 비탄성 충돌은 공의 모양이 변형된다.

 

완전 비탄성 충돌

두 물체가 충돌하여 서로 붙어서 한 방향으로 운동하는 충돌을 말한다.

$\Delta\vec{p}=0$이므로 $\vec{v}_{f}=\frac{m_{1}\vec{v}_{1i}+m_{2}\vec{v}_{2i}}{m_{1}+m_{2}}$임을 알 수 있다.

 

탄성 충돌

$\Delta \vec{p} = 0$, $\Delta K = 0$을 이용하면 $v_{1i}-v_{2i}=-(v_{1f}-v_{2f})$임을 알 수 있다.

즉, 충돌 전의 두 입자의 상대 속도는 충돌 후의 상대 속도의 음의 값과 같다.

 

만약 질량과 속도 모두 알고 있다면 충돌 후의 속도도 구할 수 있다.

$v_{1f}=\displaystyle\Bigg(\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\Bigg)v_{1i}+\Bigg(\frac{2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\Bigg)v_{2i}$

$v_{2f}=\displaystyle\Bigg(\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\Bigg)v_{1i}+\Bigg(\frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\Bigg)v_{2i}$

 

이 식을 통해서 몇 가지 알 수 있는 사실이 있다.

만일 두 입자의 질량이 같다면 충돌 후 두 입자의 초기 속도가 서로 바뀐다.

만일 입자 2가 정지 상태였고, 입자 1이 훨씬 무겁다면 1의 속도는 처음과 거의 동일하지만, 2의 속도는 거의 1의 2배가 된다. 반대의 경우에는 2는 처음처럼 정지하고, 1은 초기와 부호만 반대가 된다.

 

이차원 충돌

스침 충돌이라고도 한다. 즉, 충돌 후 처음과 다른 각도로 운동하게 된다.

따라서 운동량 보존 법칙은 사용하되, 나중속도에 삼각함수가 붙게 된다.

탄성 충돌이라면, 운동 에너지 보존 식을 이용할 수 있지만, 비탄성 충돌이라면 운동 에너지가 보존되지 않는다.

 

질량 중심

계의 질량 중심의 위치는 계의 질량의 평균 위치로 기술될 수 있다.

만일 질량 중심이 아닌 곳에 외력이 가한다면, 계는 회전하게 된다. 아니라면, 병진 운동을 한다.

$x_{CM} = \displaystyle\frac{\sum_{i} m_{i}x_{i}}{\sum_{i} m_{i}} = \frac{1}{M}\sum_{i} m_{i}x_{i}$

(위치 벡터에 대해서도 동일하게 정의된다.)

 

만일 질량 요소의 수를 무한대로 하고, 각 요소의 크기가 0에 접근하면 정확하게 적분으로 표현할 수 있다.

$\vec{r}_{CM}=\frac{1}{M}\int\vec{r}\;dm$

 

질량이 균일하고 대칭적인 물체의 질량 중심은 대칭축과 대칭면 위에 놓이다.

크기가 있는 물체는 질량이 연속으로 분포되어 있어서 각각의 작은 질량 요소에 중력이 작용한다.

이들 힘의 알짜 효과는 무게 중심이라 하는 한 점에 작용하는 단일 힘 Mg와 같고, 만일 중력 가속도가 위치에 무관하게 일정하다면, 무게 중심은 질량 중심과 일치한다.

 

다입자계

입자계의 M이 일정하다면, 즉 입자들이 계로 들어가거나 나오지 않는다면, 계의 질량 중심의 속도도 구할 수 있다.

$\vec{v}_{CM} = \frac{1}{M}\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{i}$

결국 $M\vec{v}_{CM}=\vec{p}_{tot}$이 된다.

 

다시 말해 계의 전체 선운동량은 질량 M인 단일 입자가 질량 중심의 속도로 움직이는 운동량과 같다.

이 식을 시간에 대해 미분하면, 계의 질량 중심의 가속도를 구할수 있고, 2법칙이 된다.

이를 해석하면 모든 내력 벡터를 더하면 서로 상쇄되어 계에 작용하는 알짜힘은 단지 외력에 의한 것임을 알 수 있다.

$\sum \vec{F}_{ext} = M\vec{a}_{CM}$

알짜 외력을 받아 운동하는 전체 질량 M인 계의 질량 중심의 궤적은 같은 힘을 받는 질량 M인 단일 입자의 궤적과 같다.

이 식을 유한한 시간 간격에 적분하면 다시 $\Delta \vec{p}_{tot} = \vec{I}$가 된다.

입자에 대한 충격량-운동량 정리를 입자계에 일반화한 것이며 다입자계에 대한 비고립계(운동량) 모형의 수학적인 표현이기도 하다.

 

만일 계에 작용하는 알짜 외력이 0이어서 계가 고립되어 있다면, $\Delta \vec{p}_{tot}=M\Delta\vec{v}_{CM}=0$이 된다.

즉 입자계에 작용하는 알짜 외력이 없다면 입자계의 전체 선운동량은 보존된다.

따라서 고립된 입자계에 대하여 전체 운동량과 질량 중심의 속도 모두 시간에 대하여 일정하다.

 

로켓의 추진력

로켓과 분사 연료 계는 고립되어 있다. (운동량 보존)

$Mv = (M-\Delta m)(v+\Delta v) + \Delta m(v-v_{e})$

이 식을 정리하면 $\Delta v = \frac{v_{e}\Delta m}{M-\Delta m}$

 

만일 시간 간격이 0으로 되는 극한을 취하면 $M\; dv=v_{e}\;dm=-v_{e}\;dM$이다.

이 식을 M으로 나누고 적분하면 $v_{f}-v_{i}=v_{e}\ln{(\frac{M_{i}}{M_{f}})}$가 나오며 이 식은 로켓 추진의 기본 식이다.

 

로켓 속력의 증가는 분사된 기체의 배기 속력에 비례한다.

로켓 속력은 질량 비의 로그 값에 비례하여 증가한다.

따라서 연료를 제외한 로켓 자체의 질량이 가능하면 작아야 하고, 로켓은 가능한 많은 연료를 실어야 한다.

 

추진력 = $M\frac{dv}{dt} = \Bigg|v_{e}\frac{dM}{dt}\Bigg|$

추진력은 배기 속력이 클수록, 질량 변화율(연소율)이 커질수록 증가한다.