8. 압축성 유동과 음속

유체가 기체인 경우 압력에 따라 밀도가 변하는 압축성 유동을 보인다.

Ma = v/a(음속) > 0.3이라면 압축성 유동을 나타낸다.
Ma < 1이면 아음속, Ma = 1이면 음속, Ma > 1이면 초음속이다.

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이상기체를 살펴보자.
$pV = n\bar{R}T$가 성립하고 일반기체상수 $\bar{R}$ = 8.314 kJ/kmol*K = 0.082 L*atm/mol*K이다.
여기서 몰수를 질량/분자량이라 하면 $pV = mRT$가 되며 R은 기체상수로 기체의 종류에 의존한다.
양 변을 질량으로 나누면 부피는 비체적, 혹은 밀도로 나타낼 수 있고 $p = \rho RT$가 얻어진다.


유체에 큰 압력이 가해질 때 압축되는 정도를 압축률이라 하며 $\beta = -\frac{1}{V}\frac{dV}{dp}$이다.
압축률은 압력이 가해졌을 때 부피 감소율을 나타내며 작을수록 압축이 잘 되지 않는다.
체적탄성계수는 압축률의 역수로 $E = \rho\frac{dp}{d\rho}$이며 단위는 압력과 같다.
고체와 액체에서는 체적탄성계수를 이용하는 경우가 많다.


온도 변화가 크지 않은 비압축성 유체의 유동에서 밀도는 일정하다.
기체의 경우 속도가 그렇게 크지 않을 경우(Ma < 0.3) 해당 상황에서 비압축성 유체로 취급할 수 있다.
등온과정에서 $p/\rho$는 일정하고, 등엔트로피 과정에서 $p/\rho^{k}$도 일정하다.
여기서 k는 정압비열과 정적비열의 비($C_{p}/C_{v}$)이고 기체에서 약 1.4로 일정하다.
이때의 체적탄성계수를 구해보면 등온과정에서 E = p이고, 등엔트로피 과정에서 E = kp이다.

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음파는 매질을 따라 전달되는 역학적 파동으로, 단열적이고 마찰없이 이동한다.
열역학적으로 음파의 이동은 등엔트로피 과정이며 유체에서의 미소한 압력변화를 주위로 전파한다.
이 미소한 압력변화의 전파속도를 음속 $a = \sqrt{\frac{dp}{d\rho}\Big|_{s}}=\sqrt{\frac{E}{\rho}}=\sqrt{\frac{kp}{\rho}}=\sqrt{kRT}$라 한다.
기체의 온도가 높을수록 기체에서의 음속은 증가하며, 공기보다 액체에서 음속이 훨씬 더 크다.


유체 속에서 아주 작은 물체가 움직일 때 압력 등이 변하면 파가 발생하며 모든 방향으로 전파된다.

물체가 아음속으로 움직일 때 압축파들은 물체보다 앞서 전파하게 되어
물체 앞의 유체의 압력, 밀도, 속도 등이 점진적으로 변하게 된다.

물체가 음속으로 움직이면 무한히 많은 압축파는 한 지점에서 겹치게 되며
수많은 미세한 압축파들이 중첩된 Mach선을 형성한다.
Mach선은 물체보다 앞설 수 없기 때문에 물체 앞의 유체의 압력, 밀도, 속도 등은 변하지 않는다.
따라서 Mach선을 경계로 유체의 압력, 밀도, 속도 등이 급격하게 변한다.

물체가 초음속으로 움직이면 Mach선은 이전의 모든 점에서 발생한 압축파에 접선형태로 나타나고
여러 Mach선은 현재의 위치를 꼭짓점으로 하는 원뿔 모양이 되어 Mach원뿔을 형성한다.
Mach원뿔 내부 영역은 유체의 압력, 밀도, 속도 등이 변하는 교란영역이다.
$\sin{\alpha} = \frac{a}{v} = \frac{1}{Ma}$를 이용하면 Mach선의 각을 알 수 있고
$\tan{\alpha} = \frac{H}{v\Delta t}$를 이용하여 비행기가 지나갔다는 사실을 인지할 때까지의 시간을 구할 수 있다.

아음속의 경우 음파는 a-v의 상대속도로 전파된다. (유체의 속도가 서서히 줄어든다)
반면 초음속으로 유동하는 경우 음파는 물체 후방으로만 전파되며
전방에서 물체와 가까워진 어느 경계선에서 속도가 갑자기 0이 된다.
이 경계선은 충격파이고 전후로 유체의 성질이 급격하게 변하며 비가역과정이다.

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압축성 유동에서의 지배방정식을 알아보자.
압축성 유동은 밀도가 일정하지 않고, 압력과 온도도 일정하지 않으므로
연속방정식, 운동량방정식 외에 에너지방정식과 상태방정식이 추가로 필요하다.

우선 1차원 유동이고, 정상유동, 비점성유동(마찰x), 이상기체에 비열이 일정하고 위치에너지는 무시한다고 하자.
1차워 유동에서 단면적 변화가 급격하지 않다면 경계층의 속도에 영향이 작아 평균속도로 가정할 수 있다.

1차원에 정상유동에서 질량 유량이 일정하다.
$\ln{\rho vA} = \ln{\rho} + \ln{v} + \ln{A}$는 일정함을 의미하고
연속방정식은 $\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dv}{v} + \frac{dA}{A} = 0$으로 표현 가능하다.

비점성유동과 위치에너지 무시를 추가하면 미분형 운동량 방정식은 유선에 따른 Euler방정식으로
$\frac{dp}{\rho} + vdv = 0$으로 표현된다.

에너지방정식은 정상상태, 정상유동, 검사체적에 대한 열역학 제1법칙을 적용한다.
축일이 없고, 높이차를 무시할 수 있으면  $q + C_{p}T_{1} + \frac{1}{2}v_{1}^{2} = C_{p}T_{2} + \frac{1}{2}v_{2}^{2}$이다.
열전달이 없는 단열과정에서 q=0으로
$h_{1} + \frac{1}{2}v_{1}^{2} = h_{2} + \frac{1}{2}v_{2}^{2}$ 혹은 $T_{1} + \frac{v_{1}^{2}}{2C_{p}} = T_{2} + \frac{v_{2}^{2}}{2C_{p}}$이다.

상태방정식은 $p = \rho RT$이다.

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열전달과 마찰을 무시할 수 있는 경우 등엔트로피 유동이라 한다.

유체가 유동하다가 정지할 때 가지는 물리적인 값을 정체성질이라 한다.
유체가 유동하다 정지하는 과정은 단열과정과 등엔트로피 과정으로 나뉜다.
단열과정은 정지하는 동안 열전달이 없는 과정이고
등엔트로피 과정은 단열이고 비가역현상이 없는 과정을 말한다.

유체가 단열과정으로 정지할 때 유체의 온도를 정체온도라 한다.
$h + \frac{1}{2}v^{2} = h_{0} + \frac{1}{2}v_{0}^{2}$, 비열이 일정한 이상기체의 경우 $T_{0} = T + \frac{v^{2}}{2C_{p}}$
$h_{0}$는 정체엔탈피, $T_{0}$는 정체온도이다.

유체가 등엔트로피 과정으로 정지상태에 도달할 때 압력을 정체압력이라 한다.
$\frac{p_{0}}{p} = \Big(\frac{T_{0}}{T}\Big)^{\frac{k}{k-1}}$

온도와 속도가 주어지면 실제로 등엔트로피 과정이나 단열과정으로 정지하지 않더라도
식을 적용하여 정체온도와 정체압력을 구할 수 있다.

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단면적이 변하는 등엔트로피 유동에 대해서 연속방정식과 운동량방정식을 조합하면
$\frac{dv}{v}\Big( 1-v^{2}\frac{d\rho}{dp}\Big) + \frac{dA}{A} = 0$이고 등엔트로피 과정이므로 $\frac{d\rho}{dp} = 1/a^{2}$을 대입하면
$(Ma^{2}-1)\frac{dv}{v} = \frac{dA}{A}$를 얻을 수 있다.

이를 통해
아음속 유동에서 단면적이 증가하면 속도는 감소하고
초음속 유동에서 단면적이 증가하면 속도는 증가하고
음속은 단면적이 변화하지 않을때만 가능함을 알 수 있다.

위 식을 연속방정식과 운동량방정식에 대입하면 $\frac{(1-Ma^{2})}{Ma^{2}}\frac{d\rho}{\rho} = \frac{dA}{A}$이고
이를 통해
아음속 유동에서 단면적이 증가하면 밀도와 압력은 증가하고
초음속 유동에서 단면적이 증가하면 밀도와 압력은 감소함을 알 수 있다.

따라서 정리하면 축소 단면에서는 dA = 0이 되는 출구에서 음속이 될 수도 있고
확대 단면에서는 출구에서 음속이 될 수 없다.

축소-확대 단면에서
입구에서 아음속인 경우 목에서 음속이 될 수도 있고
입구에서 초음속인 경우 목에서 음속이 될 수도 있다.
목을 지난 후에는 상황에 따라 아음속, 초음속 모두 가능하다.
($\frac{A}{A*} = \frac{1}{Ma}\Big(\frac{0.2Ma^{2} + 1}{1.2}\Big)^{3}$)

확대-축소 단면에서
입구에서 아음속인 경우 목에서 음속이 될 수 없고
입구에서 초음속인 경우 목에서 음속이 될 수 없다.

유동이 음속일 때의 단면적을 임계단면적이라 하고 A*로 나타낸다.

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비열이 일정한 이상기체의 등엔트로피 유동에서 에너지방정식으로부터 정체온도는 일정하다.
$T_{0} = T + \frac{v^{2}}{2C_{p}}$에 정압비열 $C_{p} = \frac{kR}{k-1}$을 대입하면
$\frac{T_{0}}{T} = 1 + \frac{(k-1)v^{2}}{2kRT} = \frac{k-1}{2}Ma^{2} + 1$이다.

따라서 $\frac{p_{0}}{p} = \Big(\frac{k-1}{2}Ma^{2} + 1\Big)^{\frac{k}{k-1}}$, $\frac{\rho_{0}}{\rho} = \Big(\frac{k-1}{2}Ma^{2} + 1\Big)^{\frac{1}{k-1}}$이다.
($\rho_{0} = \frac{p_{0}}{RT_{0}}$)

즉, 등엔트로피 유동에서는 모든 곳에서의 정체온도, 정체압력, 정체밀도가 일정하다.
k는 매질마다 다른 값이고, 유체가 공기일 때 k = 1.4를 대입할 수 있다.
정체점에서 운동에너지는 0이기 때문에 온도, 압력, 밀도 값이 높아진다.

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노즐을 통한 흐름은 저장실과 배기실의 압력을 정하여 조절한다.
배기실의 압력보다 저장실의 압력이 큰 경우 목에서 유속이 최대이다.
이때 배기실 압력을 낮추면 목에서 유속이 음속이 될 때까지 유량과 유속이 계속 증가한다.

목에서 유속이 음속이고, 유로의 단면이 일정하면
하류의 음파가 목으로 이동할 수 없고, 목에서는 하류의 신호가 상류로 전달되지 않아
상류쪽의 유량이 변화하지 않게 된다.

이때의 질량유량은 최대질량유량($\dot{m}_{max}=\rho *v*A_{t}$)이고, 노즐은 초크상태라 한다.
초음속 흐름은 등엔트로피(단열, 비가역)에서 가능하고 압력이 도약하는 현상이 발생할 수 있다.
압력이 급격하게 도약하면 충격파가 발생하며 흐름은 초음속에서 아음속으로 갑자기 변한다.