7. 관에서의 손실

유체가 느리게 흐를 때는 층을 이루면서 잔잔히 흐르는 층류 유동을 보이고 ($\Delta p/L \approx \bar{v}$)
비교적 빠르게 흐를 떄는 뒤섞이며 불규칙한 난류 유동을 보인다. ($\Delta p/L \approx \bar{v}^{2}$)
그 사이 애매한 중간 단계를 천이 유동이라 한다. ($\Delta p/L \approx \bar{v}^{1.8}$)

결과적으로 층류와 난류를 구분하는 기준은 Reynolds수로 구분한다.
$Re = \frac{\rho vD}{\mu} = \frac{vD}{\nu}$ ~ (관성력)/(점성력)
Re < 2100을 층류, Re > 4000을 난류라 한다.

(비뉴튼유체는 속도를 증가시키면 마찰이 줄어든다)

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유체가 관에 입구를 지나 이동하면서 점성에 의해 속도분포가 형성된다.
벽 부분에서는 속도가 감소하고 중앙 부분에서 속도가 증가하여 연속방정식이 성립한다.
점차 경계층이 생기게 되며 이후 완전발달 속도분포를 형성하게 된다.
이때까지의 이동거리를 입구길이 $L_{e}$라 한다.

층류: $\frac{L_{e}}{D} = 0.06Re$
난류: $\frac{L_{e}}{D} = 4.4Re^{1/6}$ or 25~50
입구길이는 Re에 비례하기에 유체가 빠를수록 입구길이가 길어진다.

완전발달유동 영역에서 속도분포는 축방향으로는 변하지 않고 중심으로부터 떨어진 거리에 대한 함수다.
하지만 압력은 축방향에 따라 변하고 일정하게 감소한다.

벽면에서의 전단응력은 $\tau_{w} = \frac{\Delta pR}{2L} = \frac{\Delta pD}{4L}$로 구할 수 있고
전단응력이 압력차(정압)와 관의 직경에 비례함을 알 수 있다.
전단응력 분포는 $\tau = r\Big(\frac{\tau_{w}}{r_{w}}\Big)$로, 관경과 선형 관계이다.

속도분포는 뉴턴의 점성법칙 $\tau = -\mu\frac{du}{dr}$로부터 구할 수 있다.
벽면에서의 유체의 속도가 0이라면, $u = \frac{\Delta pR^{2}}{4\mu L}\Big[ 1-\Big(\frac{r}{R}\Big)^{2}\Big]$이다.
원관에서 완전발달 층류유동의 속도분포는 포물션 형태임을 알 수 있다.

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완전발달 층류에 대한 속도분포를 통해 우선 유량과 평균속도를 구할 수 있다.
$dQ = vdA$이므로 $Q = \frac{\pi D^{4}\Delta p}{128\mu L}$로 정리되며 평균속도($\bar{v}$)x면적과 동일하다.
유량은 압력강하, 관의 길이, 점성계수에 반비례하며 관 직경의 4승에 비례함을 알 수 있다.
원관에서 완전발달 층류유동의 경우 평균속도는 최대속도(중심)의 절반이다.

역으로 압력강하를 계산할 수 있다.
$\Delta p = \frac{128\mu LQ}{\pi D^{4}}(=\frac{32L\mu\bar{v}}{D^{2}})$
이 식을 Hagen-Poiseuille식이라 한다.

뉴턴의 점성법칙으로부터 벽면에서의 전단응력을 속도분포를 이용해 나타낼 수 있다.
$\tau_{w} = \frac{4\mu\bar{v}}{D} = \frac{8 \mu v}{D}$


난류 유동의 경우 속도성분이 시간에 따라 일정하지 않다.
따라서 평균속도는 적분을 이용해 $\bar{v} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} vdt$로 나타낼 수 있고
결과적으로 속도분포는 멱법칙을 이용해 나타낸다.
(벽부근 전단응력에 대해 속도기울기가 무한대가 된다는 단점 존재)
$\frac{\bar{v}}{v_{c}} = \Big( 1-\frac{r}{R}\Big) ^{\frac{1}{n}}$
n은 6~10의 값을 가지고 일반적으로 Re에 따라 달라진다.

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관 내부의 유동에서 수두손실이나 압력손실이 일어난다.
수두손실은 $h_{L} = \frac{\Delta p}{\rho g} = f\frac{L}{D}\frac{v^{2}}{2g}$로 표현되며
이는 Darcy-Weisbach식으로 마찰에 의한 손실수두를 계산할 때 사용한다.
(Darcy) 마찰계수 f는 실험에 의해 구해지며 Moody차트를 이용해 대응하여 사용한다.
(난류에서 $f = 0.026(k/D)^{0.24}$가 성립하고 k는 매끈한 정도이다.)

단, 압력강하를 나타내는 식은 오직 수평원관에서만 적용 가능하다.
경사진 원관에서 지름과 속도가 일정하다면 압력강하는 $\rho g(z_{1} - z_{2}) + \rho gh_{L}$로 구할 수 있다.

Darcy 마찰계수와 달리 Fanning 마찰계수는 $f = \frac{\tau_{w}}{\rho\bar{v}^{2}/2} = \frac{2\tau_{w}}{\rho\bar{v}^{2}} = \frac{16}{Re}$로 구할 수 있다.
(전단응력)/(동압)을 나타내며, Fanning 마찰계수는 Darcy 마찰계수의 1/4배이다.

층류에서 마찰계수는 Re만의 함수이지만
층류가 아니라면 상대거칠기($\varepsilon /D$)도 고려해야 한다.
상대거칠기가 0이라면 매끄러운 관을 의미한다.

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관으로 이루어진 유동 시스템은 관 이음부품(밸브, 엘보, 티 등)들로 구성된다.
이러한 부품을 지날 때 부차적 손실(<-> 주손실)이 생기게 된다.
부차적 손실수두는 손실계수를 이용하여 $h_{L, minor} = K_{L}\frac{v^{2}}{2g}$로 표현된다.
$K_{L} = \frac{\Delta p}{\frac{1}{2}\rho v^{2}} = f_{F}\Big(\frac{L}{D}\Big)_{eq}$

손실계수는 모양에 따라, 종류에 따라 이미 값이 정리되어 있다.

관 입구가 각지거나 둥글거나 돌출인 경우에 따라 부차적 손실이 생긴다.
이때 손실계수는 각각 0.5, 0.03~0.5, 0.8이다.

급확대관과 급축소관에서도 손실계수가 존재한다.
$h_{fe} = K_{e}\frac{\bar{v}^{2}}{2}$이고 여기서 $K_{e} = \Big( 1-\frac{S_{1}}{S_{2}}\Big)^{2}$이다.
$h_{fc} = K_{c}\frac{\bar{v}^{2}}{2}$이고 여기서 $K_{c}<0.1$는 층류일 때이고 손실수두는 무시가능하다.
난류일 떄는 $K_{c} = 0.4\Big( 1-\frac{S_{2}}{S_{1}}\Big)$이다.

총손실수두는 관벽과 모든 부차적 손실수두의 합으로 $h_{L,total} = \Big( f_{D}\frac{L}{D} + \sum K_{L}\Big) \frac{v^{2}}{2g}$이다.

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손실계수는 같은 크기의 수두손실을 가지는 관의 상당길이로 치환 가능하다.
즉, $h_{L} = K_{L}\frac{v^{2}}{2g} = f_{D}\frac{L_{e}}{D}\frac{v^{2}}{2g}$이므로 $L_{e} = \frac{D}{f_{D}}K_{L}$이다.


확대관에서 일정수준 이상에서는 분리점이 생기고 난류가 형성된다.
유로 벽과 중심축 사이의 각도가 7도보다 작으면 확대손실을 줄일 수 있고,
35도 이상이면 와류가 형성되어 형태 마찰 손실이 크게 나타난다.

따라서 확대 및 축소 장치 입구의 모양은
유로의 단면을 점진적으로 축소시키는 원추형(트럼펫 모양)을 사용한다.
이때 축소계수는 면적비와 관계없이 0.05 정도로 낮출 수 있다.