6. 베르누이 방정식

비점성(무마찰)(분자간힘x), 정상유동에서 유선을 따라 흐르는 비압축성유체(밀도 일정)는 Bernoulli 방정식이 성립한다.
$p_{1} + \frac{1}{2}\rho v_{1}^{2} + \rho gz_{1} = p_{2} + \frac{1}{2}\rho v_{2}^{2} + \rho gz_{2}$
이 식에 부피를 곱하면 에너지 단위로 나타낼 수 있다.

각 항은 정압 + 동압 + 정수압 = 전압을 나타내며
압력에너지, 운동에너지, 위치에너지는 서로 바뀔 수 있다는 것을 의미한다.
상황에 따라 운동에너지의 속도 term은 상대적인 것으로 무시 가능할 수 있다.

유체가 움직이다 물체를 만나면 물체의 끝부분에 속도가 0이 되는 정체점이 존재한다.
이때 베르누이 방정식은 $p + \frac{1}{2}\rho v^{2} = p_{0}$으로 기술되며 정압+동압=정체압이다.

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베르누이 방정식의 응용으로 pitot관이 있다.
pitot관의 입구는 정체압이 되어 관 기둥의 높이가 정압과 다르게 된다.
이를 이용하면 정체압을 구할 수 있고 결과적으로 국소 유속을 측정할 수 있다.
$p_{0} - p_{1} = \frac{1}{2}\rho v_{1}^{2} = \rho gh$
(밀도나 비중에 무관하며 속도는 오직 h에 따라 달라진다)

하나의 장치에서 정압과 정체압을 동시에 측정하도록 고안한 장치는 pitot-static tube이다.
$p_{1} + \frac{1}{2}\rho v_{1}^{2} = p_{0}$

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베르누이 방정식을 이용하면 관의 유동에서 유량을 측정할 수 있다.
체적 유량 Q = Av ($m^{3}/s$), 질량유량 $\dot{m} = \rho Av$($kg/s$)

정상 유동일 때 유체의 질량을 일정하게 유지되고
비압축성 유동에서는 밀도가 일정하다.
즉, $A_{1}v_{1} = A_{2}v_{2}$는 질량보존을 의미하고 연속방정식의 일종이다.

벤튜리 유량계는 이를 이용해 유량을 구하는 장치이다.
베르누이 방정식과 연속방정식을 이용해 목에서의 이론적 속도는 $v_{2} =\sqrt{\frac{2(p_{1}-p_{2})}{\rho [1-(d/D)^{4}]}}$이다.
이론적 유량은 여기에 면적 $A_{2}$를 곱하면 된다.

실제 유량은 약간의 마찰손실을 포함하고 있어, 송출계수 $C_{d}$를 곱해주면 된다.
송출계수는 대부분의 난류 유동에서 1에 가깝다.

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베르누이 방정식 양변을 $\rho g$로 나누면 수두(액체의 높이)식을 얻을 수 있다.
$\frac{p}{\rho g} + \frac{v^{2}}{2g} + z = h_{t}$
각 항은 길이 차원을 가지게 되며 압력(정압)수두 + 속도수두 + 위치수두 = 전수두 이다.
(마찰손실이 있다면 전수두는 일정하지 않다)

따로 압력수두와 위치수두의 합을 피에조미터수두라 하며
유체가 흐르는 위치에 피에조미터를 설치했을 때 액체가 올라가는 부분까지의 높이이다.

전수두를 선으로 나타낸 것을 에너지선(EL) 혹은 에너지기울기선(EGL)이라 한다.
피에조미터수두를 연결한 선은 수력기울기선(HGL)이라 하며 운동에너지는 없다.

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밀폐시스템에서 열역학 제1법칙은 열량이 들어오고 계가 주위에 일을 하는 것으로 $\delta Q - \delta W = dE$로 나타낸다.
시스템의 에너지는 내부에너지, 위치에너지, 운동에너지로 구성된다.

개방시스템(검사체적)에서는 내부의 상태가 시간에 따라 바뀌지 않는 정상상태이고
유입 및 유출되는 물질의 유동이 시간에 따라 바뀌지 않는 정상유동이 대부분이다.
$\dot{Q} + \dot{m}(\tilde{h}_{1} + \frac{1}{2}v_{1}^{2} + gz_{1}) = \dot{W}_{s} + \dot{m}(\tilde{h}_{2} + \frac{1}{2}v_{2}^{2} + gz_{2})$
여기서 $\tilde{h} = \tilde{u} + p\mathcal{v}$로 비엔탈피이고, $p\mathcal{v}$는 단위질량당 유동일이다.

열전달률과 일률(동력)을 단위질랼당으로 바꾸면
$q + \tilde{h}_{1} + \frac{1}{2}v_{1}^{2} + gz_{1} = w_{s} + \tilde{h}_{2} + \frac{1}{2}v_{2}^{2} + gz_{2}$이고
에너지 방정식이라고도 하며 단위는 J/kg이다.

유체역학에서는 이를 약간 변형해 수두식으로 나타낸다.
$\frac{p_{1}}{\rho g} + \frac{v_{1}^{2}}{2g} + z_{1} - h_{L} -h_{tb} + h_{p} = \frac{p_{2}}{\rho g} + \frac{v_{2}^{2}}{2g} + z_{2}$
여기서 h는 각각 손실수두, 터빈수두, 펌프수두를 의미하며 식은 확장 베르누이 방정식이라고도 한다.

전수두로 나타내면 $h_{t1} - h_{L} = h_{t2}$이고 전수두가 큰 쪽에서 작은 쪽으로 유체가 흐름을 알 수 있다.

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펌프수두, 터빈수두와 펌프동력, 터빈동력의 관계는 다음과 같다.
$\dot{W}_{p, id} = \dot{m}gh_{p} = \rho gQh_{p}$, $\dot{W}_{tb, id} = \dot{m}gh_{tb} = \rho gQh_{tb}$
이 동력들은 단위시간당 일을 나타내고 단위는 와트다.
또, 유체유동의 관점에서만 계산한 것으로 자체에서의 손실은 고려하지 않은 이론값이다.

터빈효율과 펌프 효율은 다음과 같다.
$\eta_{tb} = \frac{\dot{W}_{tb}}{\dot{W}_{tb, id}}$, $\eta_{p} = \frac{\dot{W}_{p, id}}{\dot{W}_{p}}$
펌프의 경우 이론적 공급량을 공급하기 위해서는 실제로 더 큰 양을 공급해야 하기 때문이다.
관 중간의 송풍기는 펌프와 같은 역할을 한다.


속도분포가 균일하지 않을 때는 속도수두에 운동에너지 수정계수를 곱하여 사용한다.
$\alpha = \frac{\int_{A} v^{3}dA}{V^{3}}$ (분모는 평균속도)

원형 관에서의 유동은 수정계수가 
완전발달 층류유동에서 2이고, 완전발달 난류유동의 경우 1에 가깝다.
층류의 경우 다른 항에 비해 속도에너지의 크기가 아주 작아 오차가 작아서 수정계수를 무시하고 사용한다.

마찰이 있는 경우 기계적 에너지가 손실되므로 우변에 $h_{f}$를 더하면 된다.
이 값은 언제나 양수이고 퍼텐셜흐름에서는 0이다.
마찰은 기계적 에너지로 변환될 수 없다.
(경계층이 분리되지 않을 떄의 마찰을 표면마찰이라 한다.)
(경계층이 분리되어 웨이크가 형성되면 형태마찰로 에너지가 더욱 손실된다.)

펌프에서의 마찰손실은 $W_{p} - h_{fp} = \eta W_{p}$로 기술된다.
유체에 전달되는 기계적 에너지는 $\eta W_{p}$로, 베르누이 식 좌변에 추가하면 된다.