5. 운동량 수지

(Rate of momentum Accumulation) = (Rate of momentum entering) - (Rate of momentum leaving) + (sum of Forces acting on the system)

운동량은 $F_{sys} = \frac{d}{dt}(mv)_{sys} = \frac{dP_{sys}}{dt}$로 표현된다.

이를 Reynolds 수송정리에 따라 검사체적에 관한 식으로 바꾸면 다음과 같다.

(선형 운동량 방정식)

$F_{CV} = \frac{\partial P_{CV}}{\partial t} + \dot{P}_{out} - \dot{P}_{in}$
$\displaystyle F_{CV} = \frac{\partial}{\partial t}\Big(\int_{CV}\rho vdV\Big) + \int_{CS} v\rho V_{n}dA$

Bernoullli 방정식과 달리 위의 운동량방정식은 마찰이 있는 경우에도 성립한다.
시스템에 대한 식 자체가 이미 마찰력이 있을 때도 성립하기 때문이다.
(전부 벡터량이므로 x, y, z 각 성분별로 나타낼 수 있다.)

정상유동에 대해서는 $F_{CV} = \dot{P}_{out} - \dot{P}_{in}$이 된다.
외부에서 검사체적의 물질에 작용하는 순 힘은 검사표면을 통한 순 운동량 유동률이다.

이때 유동 균일하다면, $F_{CV} = \dot{m}_{out}v_{out} - \dot{m}_{in}v_{in}$이다.
추가적으로 입구와 출구가 하나라면, 질량은 모두 $\dot{m}$으로 대체할 수 있다.

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거시적 운동량수지 (정상유동)

$\frac{d\dot{M}}{dS} = \frac{d(\dot{m}u)}{dS} = \frac{d(\rho uSu)}{dS} = \rho u^{2}$
$\displaystyle\dot{M} = \int_{S}\rho u^{2}dS = \rho\int_{S}u^{2}dS$

따라서 $\displaystyle\frac{\dot{M}}{S} = \frac{\rho \int_{S}u^{2}dS}{S}$이고, 이를 momentum flux라 한다.
(밀도 × 속도 × 속도)

만약 흐름 단면의 위치에 따라 속도가 달라지면, 평균유속에 대한 보정인자가 필요하다.
$\displaystyle\beta = \frac{\dot{M}/S}{\rho\bar{V}^{2}}=\frac{\rho\int_{S}u^{2}dS}{S}\frac{1}{\rho\bar{V}^{2}}=\frac{1}{S}\int_{S}\Big(\frac{u}{\bar{V}}\Big)^{2}dS$
$\displaystyle\sum F = \frac{\dot{M}}{g_{c}}(\beta_{b}\bar{V}_{b} - \beta_{a}\bar{V}_{a})$
이를 운동량 수정계수라 한다.

위의 전체 힘의 합력에 대한 관계를 사용할 때는 다음 성분들을 포함해야 한다.
(1) 흐름 방향에서의 압력변화 (Body force)
(2) 흐름과 유로 사이의 경계에서의 전단응력 or 흐름과 고체 벽에 작용하는 외력(마찰)
      (Molecular force)
(3) 경사 흐름인 경우에는 적절한 중력성분 등 (Body force)

여기서 Molecular force에 대하여 전단응력은 다음과 같다.
$\tau_{xx}$: x표면에 대한 접선/수직 응력 (원인: 유체의 속도변화 및 팽창)
$\tau_{xy}$: 점성력에 의해 x표면에 작용하는 y방향 전단응력 (원인: 속도차에 의한 부피요소의 변형)

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Accumulation = Flow In & Out + Molecular force + Body force
축적 속도 = 대류(흐름)에 의한 momentum 증가 + 점성에 의한 shear stress 증가 + 외력의 증가

x 성분에 대한 축적속도는 다음과 같다.
$\frac{\partial}{\partial t}\rho u =-\Big(\frac{\partial}{\partial x}\rho uu + \frac{\partial}{\partial y}\rho uv + \frac{\partial}{\partial z}\rho uw\Big) - \Big(\frac{\partial}{\partial x}\tau_{xx} + \frac{\partial}{\partial y}\tau_{yx} + \frac{\partial}{\partial z}\tau_{zx}\Big) - \frac{\partial p}{\partial x} + \rho g_{x}$

즉, 운동방정식은 다음과 같이 정리되며 VV와 $\nabla\cdot\tau$는 벡터곱으로 9가지 항이 생긴다.(3항 3식)

$\frac{\partial (\rho V)}{\partial t} = -\nabla\cdot (\rho VV) - [\nabla\cdot\tau ]-\nabla p + \rho g$

밀도가 일정한 비압축성 유체라 가정하면, 실질미분을 이용하여 다음과 같이 표현된다.

$\rho\frac{DV}{Dt} = -\nabla p -[\nabla\cdot\tau ]+\rho g$

추가적으로 점성도 일정한(Newtonian) 경우 다음과 같은 Navier-Stokes Equations가 유도된다.

$\rho\frac{DV}{Dt} = -\nabla p + \mu\nabla^{2}V+\rho g$

일정한 밀도에 점도가 없는 이상 유체에 대해서는 Euler equation이 성립한다.

$\rho\frac{DV}{Dt} = -\nabla p +\rho g$