4. 유체 흐름 기본식

유체의 흐름에 대한 식은 미분방정식으로 풀이되므로 적분 시 경계 조건에 유의해야 한다.

Rate of accumulation = rate of Input - rate of Output +  rate of (generation - consumption)

$Flux = \frac{quantity}{(area)×(time)}$

 

기본식을 물질(질량) 수지에 대해 미분방정식을 세우면 다음과 같이 정리된다. (연속방정식)

$\frac{\partial \rho}{\partial t} = -\Big[ \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho w)}{\partial z}\Big] = -(\nabla ·\rho V)$ 이고,
$\frac{\partial \rho}{\partial t}+u\frac{\partial \rho}{\partial x}+v\frac{\partial \rho}{\partial y}+w\frac{\partial \rho}{\partial z}=-\rho\Big(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\Big)=-\rho (\nabla \cdot V)$이므로
$\frac{D\rho}{Dt}=\frac{\partial \rho}{\partial t} + V·\nabla \rho = -\rho(\nabla ·V)$

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기존 고전역학적인 방식은 관심 있는 물체를 따라가면서
시간의 함수 형태로 속도를 나타내는 방식을 썼었고 이를 lagrange 방법이라 한다.
(주로 고체 또는 일정한 질량의 시스템을 다룰 때 사용)

반면, 유체처럼 여러 입자를 생각하면, 속도를 동시에 측정하여 나타낼 수 있고
여러 시간 동안 측정하여 종합하여 나타내면 u(t, s)로 나타낼 수 있다.
즉, 여러 고정된 위치들에서 시간에 따라 속도를 측정하는 방식을 Euler 방법이라 한다.

주어진 위치에서 시간에 따라 속도가 일정한 경우 정상(steady) 유동이라 하고,
주어진 위치에서 속도가 시간에 따라 바뀌는 경우 비정상(unsteady) 유동이라 한다.
(정상유동이라 해도 Lagrange 방법으로 속도를 측정하면 일정하지 않을 수 있다.)

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유체의 유동을 Euler 기술로 나타낼 때 속도는 u(t, x, y, z)로 표현된다.
이를 이용해 가속도를 구하면 다음과 같이 나타난다.

$a = \frac{Du}{Dt} = \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z}$

$\frac{D}{Dt}$는 물질을 따라가면서 변화를 나타내는 실질(물질) 미분이라 한다.
$\frac{\partial u}{\partial t}$는 국소가속도이며, 고정된 위치에서 속도의 변화율을 나타낸다.
$u \frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z}$는 대류가속도이며,
유체입자가 한 위치에서 다른 위치로 이동하면 속도가 바뀌기 때문에 생기는 가속도이다.

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질량에 따라 달라지는 어떤 종량적 성질 또는 물질량(질량, 에너지, 운동량 등)을 B라 하자.
단위시간 당 어떤 면적을 흐르는 물리량을 유동률 $\dot{B}$라 할 수 있다.
유량 및 질량유량과 비슷한 방법으로 단위질량당 물리량을 b라고 하면 다음과 같다.

(면적에 수직인 균일한 속도 V, 밀도와 b도 전체에서 균일하면)

$\Delta B = b\Delta m = b\rho V\Delta tA$

$\dot{B} = \lim_{\Delta t→0}\frac{\Delta B}{\Delta t} = \lim_{\Delta t→0}\frac{b\rho V\Delta tA}{\Delta t} = b\rho VA = \dot{m}b$

균일하지 않는 속도에 대한 체적유량 Q는
단면에 수직한 속도성분의 크기(Vn > 0)에 대하여 다음과 같이 유도된다.

$dQ = \lim_{\Delta t→0}\frac{V_{n}\Delta tdA}{\Delta t} = V_{n}dA$

$Q = \displaystyle\int_{A}dQ = \int_{A}V_{n}dA$

$\dot{m} = \displaystyle\int_{A}\rho V_{n}dA$
$\dot{B} = \displaystyle\int_{A}b\rho V_{n}dA$

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Reynolds transport theorem

시스템에 대한 식을 검사체적에 대한 식으로 변환시켜주는 관계식이다.

시스템이 가진 물리량 B의 시간에 따른 변화율은 다음과 같다.
$\frac{dB_{sys}}{dt} = \lim_{\Delta t→0}\frac{B_{sys}(t+\Delta t)-B_{sys}(t)}{\Delta t}$

처음에는 시스템과 검사체적이 일치하지만 ($B_{sys}(t) = B_{CV}(t)$)
시간이 지나면서 시스템은 이동하고, 검사체적은 자리를 지킨다. (다르다)
$B_{sys}(t+\Delta t) = B_{CV}(t+\Delta t) + \Delta B_{II}-\Delta B_{I}$

이를 시간에 따른 변화율에 대입하면 다음과 같은 수송정리를 얻을 수 있다.
$\frac{dB_{sys}}{dt} = \frac{\partial B_{CV}}{\partial t} + (\dot{B})_{out}-(\dot{B})_{in}$

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속도가 흐르는 단면 전체에서 균일할 때
$(\dot{B})_{out} = \dot{m}_{out}b_{out}$, $ (\dot{B})_{in} = \dot{m}_{in}b_{in}$으로 표현된다.

속도가 균일하지 않다면 다음과 같이 표현된다.
$(\dot{B})_{out} = \displaystyle\int_{A_{out}}b\rho V_{n}dA$, $(\dot{B})_{in} = \displaystyle\int_{A_{in}}b\rho V_{n}dA$
여기서 적분 경로 A는 검사체적의 표면인 CS(control surface)라 할 수 있다.

밀도가 균일할 때는 $B = mb = \rho Vb$이고
균일하지 않은 경우에는 다음과 같이 정리된다.
$\displaystyle\frac{dB_{sys}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}\Big(\int_{CV}b\rho dV\Big) + \int_{CS}b\rho V_{n}dA$

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시스템에서 질량보존법칙이 성립한다. ($dm_{sys}/dt = 0$)
유체역학에서는 시스템이 모양을 바꾸면서 움직이므로 식을 변형해야 한다.

Reynold 수송 정리에 따라 $\frac{\partial m_{CV}}{\partial t} + \dot{m}_{out} - \dot{m}_{in} = 0$이다.

만약 유동이 시간에 따라 변하지 않는 정상(steady) 유동이라면
$\frac{\partial m_{CV}}{\partial t} = 0$이므로 $\dot{m}_{in} = \dot{m}_{out}$

정상 유동에 대해 속도와 성질이 균일하다면 $d\rho VA + \rho dVA + \rho VdA = 0$이므로
$\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dV}{V} + \frac{dA}{A} = 0$으로 표현할 수 있다.

정상 유동에 대해 속도와 밀도가 일정하다면 $V_{1}A_{1} = V_{2}A_{2}$이다.

질량에 대한 적분형 연속방정식은 B = m, b = 1이므로
$\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\Big(\int_{CV} \rho dV\Big) + \int_{CS}\rho V_{n}dA = 0$이다.

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질량 속도, G [kg/(m²·s), lb/(ft²·s)] = 질량 플럭스(Mass flux)
$\bar{V}\rho = \frac{\dot{m}}{A} = G$