10. 표면장력, 부력, 입자 운동

표면장력은 단위길이당 힘으로 유체의 표면에서 작용하는 힘이다. ($\sigma = \frac{F}{l}$)
액체와 접하는 고체의 표면에너지가 작은 경우 표면장력이 우세하여 접착면이 최소화된다.
고체의 장력은 접착면에서 액체의 tangent(접촉각)로 파악할 수 있다.
고체의 표면에너지가 큰 경우 액체는 구형이 아닌 perfect wetting 상태가 된다.

비눗방울의 경우 자유물체도 단면에 대한 힘의 평형은 $(p_{i}-p_{o})=\frac{4\sigma}{R}$이다.
p_o는 외부압이고 p_i는 밖으로 밀어내는 압력이다. 이때 표면장력은 4부분에서 같은 힘으로 작용한다.

구를 가득 채운 액체의 경우 표면장력은 2부분에서 같은 힘으로 작용하고 $(p_{i}-p_{o})=\frac{2\sigma}{R}$이다.

접촉각이 90도보다 작을 때, 액체는 유리관 속에서 모세관현상이 일어난다.
힘의 평형은 $\rho g\pi R^{2}h = 2\pi R\sigma\cos{\theta}$이고 정리하면 $h=\frac{2\sigma\cos{\theta}}{\rho gR}$이다.
관의 반지름이 작을수록 반비례하여 액체는 높이 올라가고, 올라가는 높이는 표면장력에 비례한다.
접촉각이 90도보다 크면, h는 음수가 되어 액체표면이 내려간다. (수은)

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부력은 유체가 물체에 작용하는 압력의 효과로 유체가 물체에 작용하는 수직 위 방향 힘이다.

아르키메데스의 원리(Archimedes' principle):
유체에 잠긴 물체는 물체가 밀어낸 유체의 무게와 같은 부력을 받는다.
$F_{B} = \rho_{f}gV$ (부력 = 유체밀도*중력*물체부피)

공기의 밀도가 액체의 밀도에 비해 아주 작아, 공기에 의한 부력은 생각하지 않는다.
물체의 비중과 유체의 비중을 알고 있다면, (잠긴부피)/(물체부피) = (물체비중)/(유체비중)이다.

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액체에서의 입자운동은 외력, 부력, 항력 3가지 힘이 작용한다.
외력은 중력 또는 원심력이고, 부력은 외력과 평행하되 방향이 반대이고,
항력은 입자와 액체의 상대적 움직임 때문에 생긴다. (마찰력 비슷하게 생각할 수 있다)

외력은 F=ma로, 부력은 아르키메데스의 원리에 따라 $F_{b}=\rho_{f} a\frac{m}{\rho_{p}}$,
항력은 $F_{D}=\frac{C_{D}u^{2}\rho A_{p}}{2}$이다.

따라서 외력이 중력이라면 $\frac{du}{dt} = g\frac{\rho_{p}-\rho_{f}}{\rho_{p}}-\frac{C_{D}u^{2}\rho_{f}A_{p}}{2m}$이다.
이에 따라 종단 속도는 du/dt=0으로 뒀을 때 $u_{t} = \sqrt{\frac{2g(\rho_{p}-\rho_{f})m}{A_{p}\rho_{p}C_{D}\rho_{f}}}$이다.
입자가 구형이라면 $u_{t}=\sqrt{\frac{4g(\rho_{p}0\rho_{f})D_{p}}{3C_{D}\rho_{f}}}$이다.

입자가 Re << 1로 움직인다면 Stokes 법칙을 만족하고 $C_{D} = \frac{24}{Re_{p}}$이다.
따라서 $u_{t} = \frac{gD_{p}^{2}(\rho_{p}-\rho_{f})}{18\mu}$이다.

1000<Re<200000인 부분에서는 뉴턴 법칙이 성립하고 $C_{D} = 0.44$이다.
따라서 u_{t} = 1.75\sqrt{\frac{g(\rho_{p}-\rho_{f})D_{p}}{\rho_{f}}}$이다.

입자가 용기의 경계나 다른 입자로부터 멀리 떨어져 서로 영향을 미치지 않으면 자유침강이고
입자의 운동을 다른 입자가 방해하는 경우는 간섭침강이라 한다.
그러므로 자유침강에 비해 간섭침강에서 항력계수가 크다.

빗방울처럼 지름이 큰 액적은 흐름 방향에서 평평해지므로 부피가 같은 구에 비해 천천히 낙하한다.
액적 크기가 증가할수록 더욱 납작해져 항력계수는 Reynold 수에 따라 증가하며,
종말속도는 극대에 도달했다 작아진다.