6. 행렬식

행렬식은 정방행렬이 input인 함수다.
행렬식은 결과값이 스칼라고, 주로 역행렬을 구할 때 사용된다.
행렬식(Determinant)은 pivot 값들의 곱이다.

행렬식은 3가지 기본 성질이 있다.
(1) |I_n| = 1

(2) 두 행이 바뀌면 부호가 바뀐다.
(3)
$\begin{vmatrix}\begin{bmatrix} a+a' & b+b' \\ c & d \end{bmatrix}\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}\begin{bmatrix} a' & b' \\ c & d \end{bmatrix}\end{vmatrix}$
$\begin{vmatrix}\begin{bmatrix} ka & kb \\ c & d \end{bmatrix}\end{vmatrix} = k\begin{vmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\end{vmatrix}$

동일한 행이 있거나, 요소가 모두 0인 행이 있다면 det(A) = 0이다.
한 행에 상수를 곱하고 다른 행에 더해도 det(A)는 변하지 않는다.
A가 삼각행렬이면, det(A)는 A의 대각선 요소를 곱한 것과 같다.

A의 역행렬이 존재하면 det(A) ≠ 0이다.
|AB| = |A||B|이고, |A^-1|=|A|^-1이다.
det(A^T) = det(A)이다.

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행렬식을 구할 때 일반적으로 다음과 같은 방식으로 구한다.
i열, j행을 제외한 작은 행렬을 M_i,j라 할 때
$C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{i,j}$라 하면,
$|A| = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \cdots + a_{in}C_{in}$이다.


Ax=b의 해를 행렬식으로 구하는 방식으로 Cramer's rule이 있다.
$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} & 0 & 0 \\ x_{2} & 1 & 0 \\ x_{3} & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{1} & a_{12} & a_{13} \\ b_{2} & a_{22} & a_{23} \\ b_{3} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$
라 둘 수 있고, 행렬식을 씌우면 다음과 같이 일반화 할 수 있다.

$\displaystyle x_{k} = \frac{|A'|}{det(A)}$
여기서 A'은 k번째 열이 벡터 b인 A행렬이다.

Cramer's rule과 유사한 방식으로 A의 역행렬을 구할 수 있다.
$\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{det(A)}\begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix} = \frac{C^{T}}{det(A)}$


행렬식에 절댓값을 씌운 것을 기하학적으로 해석하면 다음과 같다.
(x₁, y₁), (x₂, y₂)에 대해서는 두 벡터로 만들어지는 평행사변형의 넓이가 되고
세 백터의 경우 그렇게 만들어지는 육면체의 부피가 된다.