3. 벡터의 차원, 공간 그리고 선형변환

간단하게, 벡터의 합과 스칼라 곱을 가지는 집합을 벡터공간이라 하자.
집합의 개념과 유사하고, 부분공간을 정의할 수 있다.

어떤 진부분집합도 동일한 공간을 생성하지 못하는
일차독립인 V의 부분공간 S는
S를 선형결합함으로써 V를 나타낼 수 있다.

이렇게 일차독립인 벡터들을 기저라고 부르며
특정 공간 상에서 기저의 수를 차원이라 한다.

행렬이 주어졌을 때
행렬에 존재하는 독립적인 열 혹은 행의 수를 랭크라고 부르며
이는 해가 될 수 있는 pivot의 수와 동일하다.

n×n 정방행렬의 역행렬이 존재하면 랭크가 n이다.

 

m×n 행렬 A, m×m 가역행렬 P, n×n 가역행렬 Q에 대해
rank(AQ) = rank(PA) = rank(PAQ) = rank(A)가 성립한다.

만약 가역행렬이 아닌 행렬끼리의 곱의 경우
연산된 행렬의 랭크는 어느 한쪽의 행렬의 랭크 이하의 값을 가지게 된다.
rank(AB) ≤ rank(A), rank(AB) ≤ rank(B)


참고로 가역행렬은
기본적으로 정방행렬이어야 하고,
각각의 행 또는 열을 선형합해서
다른 행 또는 열을 만들 수 없어야 한다.
즉, 그러한 연산 과정에서 영벡터가 생기면 안된다.

영벡터는 다른 벡터와 종속관계이다.

 

영공간(Null space)이란, Ax=0을 만드는 x의 집합을 말한다.
x∈N(A), y∈N(A)이면 ax+by∈N(A)이다.
즉, A(ax+by) = 0이라 할 수 있다.

 N(A)가 영벡터만 갖는 공간이면 A의 행이 서로 독립이고
N(A)가 영벡터가 아닌 다른 벡터를 포함하면
A의 열은 서로 독립이다.

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m×n 행렬 A에 대하여 다음이 성립한다.
 dim(C(A^T)) + dim(N(A)) = n
dim(C(A)) + dim(N(A^T)) = m

행렬에는 독립적인 기저가 포함되어 있다.
따라서 무언가에 행렬을 곱하는 행위는
그것을 행렬의 기저로 표현하는 것이다.

n차원 벡터에 m×n행렬을 곱하면 m차원 벡터가 된다.

간단히 비교하면
직교좌표계를 극좌표계 등으로 새롭게 나타내는 것이다.

이러한 과정에서 축이 부족하면 값이 사라지기도(차원축소)
축이 더 많아지면 불필요한 축이 생기기도(차원확장) 한다.

따라서 일반적인 Ax=b의 비제차 선형계의 경우
pivot의 수가 미지수의 수보다 적은 경우가 생길 수 있다.
이때는 pivot이 아닌 free variable이 생긴다.
즉, 적어도 하나의 영벡터를 가지게 된다.

이 경우 N(A)에서 free variable에 대한 special solution을,
free variable이 0일 때 Ax=b에서 pivot에 대한 particular solution을
구할 수 있고 이를 선형합하면 완전해(complete solution)가 된다.

즉, n차원에서 m차원으로 선형변환에 대해
dim(R(A)) = n - dim(N(A))이 성립한다.