2. 미지수 n개, 일차방정식 n개

x - 2y = 1
3x + 2y = 11

이라는 연립방정식은 다음과 같이 행렬로 표현가능하다.

$\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 11 \end{bmatrix}$

보기 쉽게 표현하면 다음과 같다.

$x\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 11 \end{bmatrix}$

연립방정식을 푸는 가장 기초적인 방법은 가감법이다.
이 행위를 행렬로도 동일하게 할 수 있다.

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2x + 4y - 2z = 2
x + 2y + z = 5
-2x - 3y + 7z = 10

을 푼다고 했을 때

$\begin{bmatrix} 2 & 4 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ -2 & -3 & 7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 10 \end{bmatrix}$

Ax = b 형태로 표현할 수 있고
미지수를 제외하고 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\begin{bmatrix} 2 & 4 & -2 & | & 2 \\ 1 & 2 & 1 & | & 5 \\ -2 & -3 & 7 & | & 10 \end{bmatrix}$

좌변에 적절한 행렬을 곱하면

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{bmatrix}$

항등행렬(I)과 해를 얻게 된다.

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AA^-1 = A^-1A = I 이다.

따라서 Ax = b에서 x = A^-1b를 구하는 것과 동일한 것이다.
즉, A^-1을 구하면 해를 구할 수 있는 것이다.

대각행렬의 역행렬은 역수행렬이다.

대표적인 방식으로 Gauss-Jordan Elimination이 있다.
[ A | I ]에 적절한 행렬을 곱해 [ I | A-1 ]을 만드는 과정이다.

이러한 행렬 연산을 컴퓨터로 할 수도 있는데
이때는 무작정 연산하는 것이 아니라
LU Factorization이라는 방식을 사용한다.

위삼각행렬(U)과 아래삼각행렬(L)로 A를 분해하는 것이다.
A = LU이면 LUx = b인 것이고
Ly = b, Ux = y임을 이용하면
빠르게 x와 y 동시에 구할 수 있다.