맥스웰 방정식과 회로에서 전류의 시간 함수

전류가 만드는 자기장을 분석하기 위해 앙페르의 법칙을 사용한다.

$\displaystyle\oint\vec{B}·d\vec{s} = \mu_{0}I$

이 선적분의 경로는 전도 전류가 통과하는 닫힌 곡선이다.

 

하지만 전류의 불연속성(축전기) 때문에 적분이 0이 되는 특정한 상황에서는 변위 전류($I_{d}$) 항을 추가해야 한다.

 

$\Phi_{E} = \displaystyle\int\vec{E}·d\vec{a} = EA = \frac{q}{\epsilon_{0}}$이고, $E = \frac{q}{\epsilon_{0}A}$이므로

$q = \epsilon_{0}\Phi_{E}$

$I_{d} = \frac{dq}{dt} = \epsilon_{0}\frac{d\Phi_{E}}{dt}$

 

이를 통해 앙페르 법칙의 일반형(앙페르-맥스웰 법칙)은 다음과 같다.

$\displaystyle\oint\vec{B}·d\vec{s} = \mu_{0}(I+I_{d}) = \mu_{0}I+\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{d\Phi_{E}}{dt}$

 

따라서 변위 전류는 축전기에 연결한 도선의 전도 전류와 같게 된다.

 

맥스웰 방정식

1. 가우스 법칙  $\displaystyle\oint\vec{E}·d\vec{a} = \frac{q}{\epsilon_{0}}$
2. 자기에 대한 가우스 법칙  $\displaystyle\oint\vec{B}·d\vec{a} = 0$  (홀극 존재하지 않음)
3. 패러데이 법칙  $\displaystyle\oint\vec{E}·d\vec{s} = -\frac{d\Phi_{B}}{dt}$
4. 앙페르-맥스웰 법칙  $\displaystyle\oint\vec{B}·d\vec{s} = \mu_{0}I+\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{d\Phi_{E}}{dt}$

추가로 공간 속의 한 점에서 전기장과 자기장을 알면, 전하량 q인 입자에 작용하는 힘은 전기장과 자기장 내의 입자 모형으로부터 로렌츠 힘의 법칙이라는 관계식을 얻을 수 있다.

$\vec{F} = q\vec{E}+q\vec{v} × \vec{B}$

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RC 직렬 회로

<축전기의 충전>

키르히호프 고리 법칙에 따라 다음 식이 작성된다.

$\varepsilon - \frac{q}{C} - iR = \varepsilon - \frac{q}{C} - R\frac{dq}{dt} = 0$

$\frac{dq}{dt} = -\frac{q-C\varepsilon}{RC}$

$\displaystyle\int_{0}^{q}\frac{1}{q-C\varepsilon}dq = \int_{0}^{t}-\frac{1}{RC}dt$

 

$q = CV < C\varepsilon$이므로

$\ln{|\frac{q-C\varepsilon}{-C\varepsilon}|}=-\frac{1}{RC}t$

 

$\therefore q = C\varepsilon(1-e^{-t/RC}) = Q_{max}(1-e^{-t/RC})$

 

<축전기의 방전>

축전기가 방전을 하려면 전지가 사라지면 된다.

$-\frac{q}{C}-iR = 0$

$\therefore \ln{\frac{q}{Q_{i}}} = -\frac{t}{RC}$

 

$q= Q_{i}e^{-t/RC}$

 

전하량에 대한 식을 시간에 대해 미분하면 전류를 시간의 함수로 구할 수 있다.

 

<RC 회로 분석>

	충전	방전
$q(t)$	$C\varepsilon(1-e^{-t/RC})$	$Q_{i}e^{-t/RC}$
$i(t)$	$\frac{\varepsilon}{R}e^{-t/RC}$	$-\frac{Q_{i}}{RC}e^{-t/RC}$

전류는 결국 방향의 차이이고, 시간이 지나면 0이 되는 것은 매한가지이다.

($RC = \tau$로, RC 회로의 시간 상수라고 말한다.)

시간 상수 = 방전된 축전기의 63%가 충전되는 시간 = 충전된 축전기의 37%가 남게되는 시간

 

RL 회로

저항 인덕터 회로이다.

<전원이 연결된 RL 회로>

$\varepsilon - iR - L\frac{di}{dt} = 0$

$\frac{di}{dt} = -\frac{i-\varepsilon/R}{L/R}$

$\int_{0}^{i}\frac{1}{i'-\varepsilon/R}di' = -\frac{R}{L}\int_{0}^{t}dt'$

 

$\therefore i(t) = \frac{\varepsilon}{R}(1-e^{-tR/L})$

 

즉, 스위치를 닫으면 전류는 순간적으로 증가하는데, 인덕터가 회로로부터 제거되어 L이 0에 접근하면(유도 계수가 0이면), 나중 평형 상태의 값을 나타낸다.

 

<전원이 제거된 RL 회로>

기전력만 없애면 된다.

$iR + L\frac{di}{dt} = 0$

$\frac{di}{dt} = -i\frac{R}{L}$

$\int_{I}^{i}\frac{1}{i'}di' = -\frac{R}{L}\int_{0}^{t}dt'$

 

$\therefore i(t) = Ie^{-tR/L}$

 

만일 회로에 인덕터가 없으면 전류는 전지가 제거될 때 즉시 0으로 감소된다.

인덕터의 존재로, 전류의 감소를 억제하여 전류가 지수적으로 감소한다.

(덕분에 부하가 걸리지 않는 정류자 역할을 한다)

 

$\tau = \frac{L}{R}$은 RL 회로의 시간 상수로,

= 전원 연결 후 최대 전류의 63%가 흐르는 시간

= 전원 제거 후 최대 전류의 37%로 줄어드는 시간