교류 회로

-교류 전원의 전압

$\Delta V = \Delta V_{max}\sin\omega t$

 

$\Delta V_{max}$는 전원의 최대 출력 전압 또는 전압 진폭이고,

$\omega=2\pi f = \frac{2\pi}{T}$는 저원의 각진동수이다.

 

<교류 회로에서의 저항기>

교류 전원과 저항으로만 이루어진 회로는 저항이 모든 전압을 다 사용해야 한다.(키르히호프 고리 법칙)

$\Delta v - i_{R}R=0$

$i_{R} = \frac{\Delta v}{R} = \frac{\Delta V_{max}}{R}\sin\omega t = I_{max}\sin\omega t$

 

$\therefore \Delta v_{R} = i_{R}R = I_{max}R\sin\omega t$

이를 통해 전류와 전압의 위상이 같음을 알 수 있다.

(위상자(phasor)에 따르면 위상이 같으면 방향이 같으며, 그 길이는 나타내고자 하는 변수의 최댓값에 비례한다.)

저항기는 교류와 직류에서 작동 방식이 같다.

 

교류 전원에 의한 전류의 평균값은 rms(root-mean-square)로 구한다.

$I_{rms} = \sqrt{(i)^{2}_{avg}}=\sqrt{<i>^{2}}$

$i^{2}=I^{2}_{max}\sin^{2}\omega t$이고, $<f>=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f\;dt$이므로

$<i>^{2} = \frac{\omega}{2\pi}\int_{0}^{2\pi/\omega}I^{2}_{max}\sin^{2}\omega t\;dt$

 

$\therefore I_{rms} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}I_{max} \approx 0.707I_{max}$

 

이를 통해 rms 전압과 평균 전력은 다음과 같다.

$P_{avg} = I\Delta V = I^{2}R = I^{2}_{rms}R$

$\Delta V_{rms} = \frac{\Delta V_{max}}{\sqrt{2}}=0.707\Delta V_{max}$

 

일상에서 사용하는 220V 등의 전압은 rms 값이다. (교류 전류계와 전압계가 rms 값을 읽는다)

따라서 실제로 전압은 교류 파동에 따라 더 클 수도, 더 작을 수도 있다.

 

<교류 회로에서의 인덕터>

인덕터 역시 교류 회로에서의 저항기와 마찬가지로, 키르히호프 고리 법칙이 적용된다.

$\Delta v - L\frac{di_{L}}{dt} = 0$

 

$\Delta v = L\frac{di_{L}}{dt} = \Delta V_{max}\sin\omega t$이므로

$i_{L} = \frac{\Delta V_{max}}{L}\int\sin\omega t = -\frac{\Delta V_{max}}{\omega L}\cos\omega t$

 

$\therefore i_{L} = \displaystyle\frac{\Delta V_{max}}{\omega L}\sin\Bigg(\omega t - \frac{\pi}{2}\Bigg)$

하지만 $\Delta v = \Delta V_{max}\sin\omega t$이다.

이를 통해 전류와 전압의 위상차($-\pi/2$)가 있으며 전압이 최대면 전류가 최소가 된다.

결국 인덕터의 전류는 전압이 최대가 되는 시점보다 1/4 주기 뒤에 최대가 된다.

 

$I_{max} = \frac{\Delta V_{max}}{\omega L}$

이 식은 저항기에서의 식과 매우 유사하다.

$\omega L$은 저항과 같은 단위를 가지고, 저항과 같은 방식으로 전류와 전압의 관계를 맺어준다.

유도 리액턴스($X_{L}$)라고 부르며, 전류에 저항하는 정도는 진동수에 의존한다.

 

따라서 인덕터는 교류 회로에서 저항과 유사한 방식으로 거동함을 알 수 있다.

 

진동수가 증가함에 따라 유도 리액턴스가 증가한다.

=전류의 변화가 크면 클수록 역기전력이 더 커진다.

=큰 역기전력은 리액턴스를 증가시키고 전류를 감소시킨다.

 

인덕터의 순간 전압(역기전력)은 다음과 같다.

$\Delta v_{L} = -L\frac{di_{L}}{dt} = -\Delta V_{max}\sin\omega t = -I_{max}X_{L}\sin\omega t$

 

<교류 회로에서의 축전기>

축전기도 저항기, 인덕터와 같이 키르히호프 고리 법칙을 따른다.

$\Delta v - \frac{q}{C} = 0$

$\frac{q}{C} = \Delta V_{max}\sin\omega t$이므로

$i_{C} = \frac{dq}{dt} = \omega C\Delta V_{max}\cos\omega t$이다.

 

$\therefore i_{C} = \omega C\Delta V_{max}\sin\Bigg(\omega t+\frac{\pi}{2}\Bigg)$

하지만 $\Delta v = \Delta V_{max}\sin\omega t$이다.

따라서 전류와 전압의 위상차($\pi/2$)가 존재한다.

축전기의 전류는 전압이 최대가 되는 시점보다 1/4 주기 먼저 최대가 된다.

 

$I_{max} = \omega C\Delta V_{max} = \displaystyle\frac{\Delta V_{max}}{(1/\omega C)}$

이 역시 저항기에서의 식과 비슷하다.

따라서 $1/\omega C$를 용량 리액턴스($X_{C}$)라고 부르며 진동수에 따라 변한다.

 

따라서 축전기 또한 교류 회로에서 자항과 유사한 방식으로 거동함을 알 수 있다.

$\Delta v_{C} = \Delta V_{max}\sin\omega t = I_{max}X_{C}\sin\omega t$

전압 전원의 진동수가 증가하면, 용량 리액턴스가 감소하므로 최대 전류는 증가한다.

진동수가 0으로 가까워지면(직류) 전류는 0이 된다.

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RLC 직렬 교류 회로

순간 인가 전압은 $\Delta v = \Delta V_{max}\sin\omega t$이고, 전류는 $i = I_{max}\sin(\omega t - \phi)$이다.

여기서 $\phi$는 전류와 전압 사이의 위상각이다.

 

$\Delta v_{R} = I_{max}R\sin\omega t$

$\Delta v_{L} = I_{max}X_{L}\sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) = I_{max}X_{L}\cos\omega t$

$\Delta v_{C} = I_{max}X_{C}\sin(\omega t - \frac{\pi}{2}) = I_{max}X_{C}\cos\omega t$

 

이 세 전압의 합이 교류 전원의 순간 전압과 같아야 한다.

하지만 다른 위상 관계를 가지기 때문에, 위상자 벡터 합으로 나타낸다.

따라서 벡터합이 최대 전압 위상자의 길이와 같으며, 전류 위상자와 $\phi$의 각도를 이룬다.

 

$\Delta V_{max} = \sqrt{\Delta V_{R}^{2} + (\Delta V_{L} - \Delta V_{C})^{2}} = I_{max}\sqrt{R^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}$

 

이 식을 전류에 대해 정리하면 저항의 역할을 하는 부분이 생긴다.

여기서 $Z = \sqrt{R^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}$를 임피던스라고 부른다.

 

교류 회로에서 (리액턴스는 진동수에 의존하므로) 임피던스와 전류는 저항, 온도 계수, 전기용량과 진동수에 의존한다.

 

$\phi = \tan^{-1}\Bigg(\frac{\Delta V_{L}-\Delta V_{C}}{\Delta V_{R}}\Bigg) = \tan^{-1}\Bigg(\frac{I_{max}X_{L}-I_{max}X_{C}}{I_{max}R}\Bigg) = \tan^{-1}\Bigg(\frac{X_{L}-X_{C}}{R}\Bigg)$ 

 

이를 통해 $X_{L}>X_{C}$(고진동수에서 발생)일 때 위상각은 양수이고, 전류는 걸린 전압에 뒤진다.

이 경우를 회로는 유도성이라고 말한다.

반대의 경우 전류가 전압보다 앞서고 회로는 용량성이라고 말한다.

만약 두 값이 같다면, 위상각은 0이고, 회로는 순수하게 저항만 있다.

 

<직렬 RLC 회로에서의 공명>

$I_{rms} = \frac{\Delta V_{rms}}{Z}$이다.

만약 임피던스에서 $X_{L} = X_{C}$로, 저항만 남는다면, 이를 만족하는 진동수 $\omega_{0}$을 회로의 공명 진동수라 한다. (이 진동수에서 회로는 최대 응답을 보이기 때문)

$\omega_{0}L = 1/\omega_{0}C$이므로 $\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$이다.

 

rms 전류는 인가 전압의 진동수가 L과 C에 의존하는 자연 진동수와 일치할 때 최댓값에 도달된다.

따라서 이 진동수에서 전류는 인가 전압과 같은 위상에 있게 된다.