4. 고체에서의 확산

물질은 기본적으로 원자단위에서 운동을 하기 때문에 확산한다.
거시적으로 크게 2가지로 나뉜다.

고농도에서 저농도로 경계면 주변에서 섞이는 Interdiffusion과
유동 모자이크 구조처럼 원자의 위치만 바뀌는 Self-diffusion이 있다.

기체와 액체의 경우 브라운 운동을 통해 확산되고
고체의 경우 vacancy diffusion과 interstitial diffusion으로 나뉜다.

공공 확산은 결점인 공공에 주변 원자가 이동하게 됨으로써 이루어지는 확산이다.
따라서 그 속도는 공공의 수, 활성화 에너지에 비례한다.

침입형 확산은 용매 원자보다 용질 원자가 매우 작아 그 사이 공간을 이동하는 확산이다.
따라서 침입형 확산이 공공 확산보다 빠르게 진행된다.

---

그럼 확산의 속도를 계산해보자.

확산유량은 단위 시간당 단위 면적을 통과하는 질량 또는 몰수로 정의한다.

$\displaystyle J=\frac{M}{At}$

 

여기서 농도 구배가 변하지 않는 정상상태에 단방향 확산이라 가정하면
다음과 같이 Fick의 제1법칙이 나온다.

D는 확산 계수, C는 농도 분포이다.

 

$\displaystyle J = - D\frac{dC}{dx}$

 

 

반면, 실제 기체는 비정상 상태 확산을 한다.
이때는 Fick의 제2법칙이라는 편미분 방정식을 이용한다.
$\displaystyle\frac{\partial C}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\Big( D\frac{\partial C}{\partial x}\Big)$

이 해는 다음과 같다.

$\displaystyle\frac{C_{x}-C_{0}}{C_{s}-C_{0}} = 1 - erf\Big(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\Big)$

 

여기서 $erf(x/2\sqrt{Dt})$는 Gaussian 오차 함수이며,
$x/2\sqrt{Dt}$값에 대한 수학적 표가 따로 존재한다.
이 표에 값이 없다면, 내삽법을 이용해 값을 구하면 된다.

만약 특정 온도에서 농도가 일정하다면, 위 식의 좌측항이 상수이므로
해당 온도에서 $\frac{x^{2}}{Dt} = const$가 된다.

---

확산종에 따라 확산 계수가 달라진다.

또, 온도도 확산 계수에 영향을 미친다.

 

$\displaystyle D = D_{0}exp\Big(-\frac{Q_{d}}{RT}\Big)$

 

여기서 Qd는 활성화 에너지이고 D0는 온도에 무관한 선지수다.

두 값 모두 모금속과 확산종에 따라 값이 달라진다.

 

위 식은 그래프에 그리면 D-T 곡선이므로
분석할 때는 log를 씌워서 편하게 log D와 1/T 직선으로 나타낸다.

 

그렇게 분석했을 때 $D_{interstitial} >> D_{substitutional}$이라는 경향이 나온다.