2차원 곡운동

이차원부터는 위치를 벡터로 표현한다.

이차원 운동은 x축과 y축 방향의 각각 독립된 두 개의 운동으로 기술할 수 있다.

 

포물체 운동

중력만 작용하는 이차원 등가속도 운동이다.

기본적으로 $\vec{r_{f}} = \vec{r_{i}} + \vec{v_{i}}t + \frac{1}{2}\vec{g}t^{2}$ 식을 이용한다.

 

처음 속도의 x와 y 성분은 $v_{xi} = v_{i}\cos{\theta_{i}}$, $v_{yi} = v_{i}\sin{\theta_{i}}$이다.

수평으로는 등속 운동을 하며, 연직 방향으로는 등가속도 운동을 한다.

 

최대 높이

최대 높이에서는 연직 방향의 속도가 0이다.

따라서 최고점에 도달하는 시간 $t = \frac{v_{i}\sin{\theta_{i}}}{g}$를 구할 수 있다.

이를 $y_{f} = y_{i} + v_{yi}t - \frac{1}{2}gt^{2}$에 대입하면 최고 높이 $h = \frac{v_{i}^{2}\sin^{2}{\theta_{i}}}{2g}$를 구할 수 있다.

 

수평 도달 거리

궤적의 대칭에 의하여 최고점까지 걸리는 시간과, 다시 지표면에 도달하는 시간이 동일하다.

초기 위치를 0으로 하면, 수평 도달 거리는 $R = \frac{v_{i}^{2}\sin{2\theta_{i}}}{g}$이다.

이를 통해 초기 속도가 일정하다면, 45도 각도일 때 최대 거리가 된다.

 

분석 모형 : 등속 원운동하는 입자

속도가 아닌 속력이 일정한 원운동이다.

즉, 원형 경로에서 방향의 변화로 가속도가 생겨, 속력이 일정한 운동이다.

반지름 벡터(위치)와 접선 벡터(속도)가 만드는 삼각형은 닮은 꼴로 $\frac{|\Delta\vec{v}|}{v}=\frac{|\Delta\vec{r}|}{r}$이다.

이를 통해 구심 가속도 $a_{c} = \frac{v^{2}}{r}$를 유도할 수 있으며 가속도가 중심을 향한다.

 

주기

주기란 한 바퀴를 도는데 걸리는 시간으로, $T = \frac{2\pi r}{v}$이다.

주기의 역수는 초당 회전수를 나타내는 회전률이다.

원 주위로 입자가 한 번 회전하는 $2\pi$와 회전률을 곱하면 입자의 각속력 $w = \frac{2\pi}{T}$가 된다.

$w = \frac{v}{r}$     $v=rw$     $a_{c} = rw^{2}$

 

비등속 원운동

구심 가속도(지름 가속도)는 원운동 궤적을 만들고, 접선 가속도는 속력을 변화한다.

따라서 완벽한 원운동은 아니지만, 원의 곡률을 만들어 곡선 자취를 형성한다.

$\vec{a} = \vec{a_{r}} + \vec{a_{t}}$     $a=\sqrt{a_{r}^{2} + a_{t}^{2}}$     $\theta = \tan^{-1}{(\frac{a_{r}}{a_{t}})}$

 

 

상대 속도와 상대 가속도

관측자의 상태에 따라 좌표계가 조금씩 다르다.

따라서 각각의 좌표계에 맞춰 좌표 변환식을 사용해 좌표를 표현한다.

($\theta$만큼 기울었다면 $x' = \cos\theta x+ \sin\theta y$, $y' = -\sin\theta x + \cos\theta y$)

그러므로 속도의 경우 관측자에 따라 다르게 측정된다.

 

반면, 한 기준틀에 있는 관측자가 측정한 입자의 가속도는 그 기준틀에 대하여 등속도로 상대 운동을 하는 다른 관측자가 측정한 가속도와 같다.